【データの分析】『データの修正』平均値・分散の変化

データの修正（平均値と分散）

今回はデータが修正された時に平均値・分散がどのように変化するのかを解説していきます。

解説する前に、使用する公式の確認をしましょう。大きさ $n$ のデータの値を $x_1$,　$x_2$,　$\cdots$,　$x_n$ とするとき、

データの修正の問題

次のデータは、ある都市のある年の月ごとの最高気温を並べたものである。

$5$,　$4$,　$8$,　$12$,　$17$,　$24$,　$27$,　$28$,　$22$,　$30$,　$9$,　$6$　（単位は ${}^{\circ }C$ ）

(1)　このデータの平均値を求めよ

(2)　このデータの中で入力ミスが見つかった。${30}^{\circ }C$ となっている月の最高気温は正しくは ${18}^{\circ }C$ であった。この入力ミスを修正すると、このデータの平均値は修正前より何度減少するか。

(3)　このデータの中で入力ミスが見つかった。正しくは $6^{\circ }C$ が ${10}^{\circ }C$,　${30}^{\circ }C$ が ${26}^{\circ }C$ であった。この入力ミスを修正すると、このデータの平均値は（ア）し、分散は（イ）する。

（ア）,（イ）に当てはまるものを次の ①,　②,　③ から選べ。

　①　修正前より増加
　②　修正前より減少
　③　修正前より一致

解説

(1)　このデータの平均値を求めよ

(2)　このデータの中で入力ミスが見つかった。${30}^{\circ }C$ となっている月の最高気温は正しくは ${18}^{\circ }C$ であった。この入力ミスを修正すると、このデータの平均値は修正前より何度減少するか。

データの総和は ${12}^{\circ }C$ 減少するから、データの平均値は修正前より

${\displaystyle \frac{12}{12}=1}$ (${}^{\circ }C$) 減少する。

(3)　このデータの中で入力ミスが見つかった。正しくは $6^{\circ }C$ が ${10}^{\circ }C$,　${30}^{\circ }C$ が ${26}^{\circ }C$ であった。この入力ミスを修正すると、このデータの平均値は（ア）し、分散は（イ）する。

（ア）

修正前：$6^{\circ }C$ と ${30}^{\circ }C$
修正後：${10}^{\circ }C$ と ${26}^{\circ }C$

修正前と修正後を比べると、$6+30=10+26$ となるので、答えは ③

（イ）ミスが起こった部分に着目し、偏差の２乗の和を計算してみる。

修正前：$(6-16{)}^2+(30-16{)}^2=296$
修正後：$(10-16{)}^2+(26-16{)}^2=136$

ゆえに、偏差の２乗の和は減少するから、分散は修正前より減少する。

よって、②

おわりに

今回は、データが修正された時の平均値・分散がどのように変化するのかを例題を使って解説してきました！