データの修正（平均値と分散）
今回はデータが修正された時に平均値・分散がどのように変化するのかを解説していきます。
解説する前に、使用する公式の確認をしましょう。大きさ \(n\) のデータの値を \(x_1\), \(x_2\), \(\cdots\), \(x_n\) とするとき、
平均値 \(\bar{x}\)
\(\bar{x}=\displaystyle\frac{1}{n}(x_1+x_2+\cdots +x_n)\)
分散 \(s^2\)
\(s^2=\displaystyle\frac{1}{n}\{(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\cdots +(x_n-\bar{x})^2\}\)
また、\(s^2=\bar{x^2}-(\bar{x})^2\) で計算できる。
データの修正の問題
次のデータは、ある都市のある年の月ごとの最高気温を並べたものである。
\(5\), \(4\), \(8\), \(12\), \(17\), \(24\), \(27\), \(28\), \(22\), \(30\), \(9\), \(6\) （単位は \(^\circ C\) ）
(1) このデータの平均値を求めよ
(2) このデータの中で入力ミスが見つかった。\(30^\circ C\) となっている月の最高気温は正しくは \(18^\circ C\) であった。この入力ミスを修正すると、このデータの平均値は修正前より何度減少するか。
(3) このデータの中で入力ミスが見つかった。正しくは \(6^\circ C\) が \(10^\circ C\), \(30^\circ C\) が \(26^\circ C\) であった。この入力ミスを修正すると、このデータの平均値は（ア）し、分散は（イ）する。
（ア）,（イ）に当てはまるものを次の ①, ②, ③ から選べ。
① 修正前より増加
② 修正前より減少
③ 修正前より一致
解説
(1) このデータの平均値を求めよ
\(\displaystyle\frac{1}{12}(5+4+8+12+17+24+27+28+22+30+9+6)\)
\(=\displaystyle\frac{1}{12}\times 192=16\)
(2) このデータの中で入力ミスが見つかった。\(30^\circ C\) となっている月の最高気温は正しくは \(18^\circ C\) であった。この入力ミスを修正すると、このデータの平均値は修正前より何度減少するか。
平均値 \(=\) \(\displaystyle\frac{データの総和}{データの大きさ}\)
平均値の変化はデータの総和の変化に注目。
データの総和は \(12^\circ C\) 減少するから、データの平均値は修正前より
\(\displaystyle\frac{12}{12}=1\) (\({}^{\circ} C\)) 減少する。
（別解）
\(30^{\circ} C\) を \(18^{\circ} C\) に変更して再度平均値を計算することで求めることもできます。
\(\displaystyle\frac{1}{12}(5+4+8+12+17+24+27+28+22+18+9+6)\)
\(=\displaystyle\frac{1}{12}\times 180=15\)
(3) このデータの中で入力ミスが見つかった。正しくは \(6^\circ C\) が \(10^\circ C\), \(30^\circ C\) が \(26^\circ C\) であった。この入力ミスを修正すると、このデータの平均値は（ア）し、分散は（イ）する。
（ア）
修正前：\(6^\circ C\) と \(30^\circ C\)
修正後：\(10^\circ C\) と \(26^\circ C\)
修正前と修正後を比べると、\(6+30=10+26\) となるので、答えは ③
（別解）
修正後の値で再度平均値を計算することで求めることもできます。
\(6^\circ C\) が \(10^\circ C\) 増加し、\(30^\circ C\) が \(26^\circ C\) に減少するので、
\(\displaystyle\frac{1}{12}(5+4+8+12+17+24+27+28+22+26+9+10)\)
\(=\displaystyle\frac{1}{12}\times 192=16\)
（イ）ミスが起こった部分に着目し、偏差の２乗の和を計算してみる。
分散 \(=\) \(\displaystyle\frac{偏差の2乗の総和}{データの大きさ}\)
分散の変化は偏差の \(2\) 乗の総和の変化に注目。
修正前：\((6-16)^2+(30-16)^2=296\)
修正後：\((10-16)^2+(26-16)^2=136\)
ゆえに、偏差の２乗の和は減少するから、分散は修正前より減少する。
よって、②
おわりに
今回は、データが修正された時の平均値・分散がどのように変化するのかを例題を使って解説してきました！
↓相関係数について確認したい方はこちら
↓中央値を使った例題はこちら
↓分散を使った例題はこちら
さいごまで記事を読んでいただきありがとうございました！
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