【データの分析】分散と標準偏差、相関係数

分散と標準偏差

分散と標準偏差の公式

変量 \(x\) についてのデータの値が、\(n\) 個の値 \(x_1\),　\(x_2\),　\(\cdots\),　\(x_n\) の平均値を \(\overline{x}\) とする。

分散と標準偏差の例題と解説

次のデータは、ある商品 \(A\), \(B\) の \(5\) 日間の売り上げ個数である。

\(A\)：\(5\),　\(7\),　\(4\),　\(3\),　\(6\)
\(B\)：\(4\),　\(6\),　\(8\),　\(3\),　\(9\) （単位は個）

\(A\),　\(B\) の変量をそれぞれ \(x\), \(y\) とするとき、次の問いに答えよ。

(1)　\(x\),　\(y\) のデータの平均値、分散、標準偏差をそれぞれ求めよ。ただし、標準偏差については小数第\(2\) 位を四捨五入せよ。
(2)　\(x\),　\(y\) のデータについて、標準偏差によってデータの平均値からの散らばりの度合いを比較せよ。

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（解説）

(1)

\(x\),　\(y\) のデータの平均値をそれぞれ \(\overline{x}\),　\(\overline{y}\) とすると

　\(\overline{x}=\displaystyle\frac{1}{5}(5+7+4+3+6)=\) \(5\)
　\(\overline{y}=\displaystyle\frac{1}{5}(4+6+8+3+9)=\) \(6\)

\(x\),　\(y\) のデータの分散をそれぞれ \(s_x^2\),　\(s_y^2\) とすると

　\(s_x^2=\overline{x^2}-(\overline{x})^2\) より
　\(s_x^2=\displaystyle\frac{1}{5}(5^2+7^2+4^2+3^2+6^2)-5^2=\) \(2\)

　\(s_y^2=\overline{y^2}-(\overline{y})^2\) より
　\(s_x^2=\displaystyle\frac{1}{5}(4^2+6^2+8^2+3^2+9^2)-6^2=\) \(5.2\)

よって、標準偏差は、

　\(s_x=\sqrt{2}=1.4\cdots\) よって、\(1.4\)
　\(s_7=\sqrt{5.2}=2.3\cdots\) よって、\(2.3\)

(2)

(1) から、\(s_y>s_x\)

ゆえに、\(y\) のデータの方が散らばりの度合いが大きい。

相関係数

相関係数の公式

相関係数の例題と解説

次の表は、学生 \(5\) 名の身長 \(x\)（cm）と体重 \(y\) （kg）を測定した結果である。\(x\) と \(y\) の相関係数 \(r\) を求めよ。

	A	B	C	D	E
身長 \(x\) （cm）	181	167	173	169	165
体重 \(y\) （kg）	75	59	63	67	61

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（解説）

\(x\),　\(y\) のデータの平均をそれぞれ \(\overline{x}\),　\(\overline{y}\) とすると

　\(\overline{x}=\frac{1}{5}(181+167+173+169+165)=171\)
　\(\overline{y}=\frac{1}{5}(75+59+63+67+61)=65\)

※　分母の標準偏差、分子の共分散それぞれを直接計算しても良い。

ゆえに、相関係数 \(r\) は

　\(r=\displaystyle\frac{140}{\sqrt{160\times 160}}\)
　　\(=\displaystyle\frac{140}{160}\)
　　\(=0.875\)

おわりに