【データの分析】分散と標準偏差、相関係数

分散と標準偏差

分散と標準偏差の公式

変量 $x$ についてのデータの値が、$n$ 個の値 $x_1$,　$x_2$,　$\cdots$,　$x_n$ の平均値を $\bar{x}$ とする。

分散と標準偏差の例題と解説

次のデータは、ある商品 $A$, $B$ の $5$ 日間の売り上げ個数である。

$A$：$5$,　$7$,　$4$,　$3$,　$6$
$B$：$4$,　$6$,　$8$,　$3$,　$9$ （単位は個）

$A$,　$B$ の変量をそれぞれ $x$, $y$ とするとき、次の問いに答えよ。

(1)　$x$,　$y$ のデータの平均値、分散、標準偏差をそれぞれ求めよ。ただし、標準偏差については小数第$2$ 位を四捨五入せよ。
(2)　$x$,　$y$ のデータについて、標準偏差によってデータの平均値からの散らばりの度合いを比較せよ。

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（解説）

(1)

$x$,　$y$ のデータの平均値をそれぞれ $\bar{x}$,　$\bar{y}$ とすると

　$\bar{x}={\displaystyle \frac{1}{5}(5+7+4+3+6)=}$ $5$
　$\bar{y}={\displaystyle \frac{1}{5}(4+6+8+3+9)=}$ $6$

$x$,　$y$ のデータの分散をそれぞれ $s_x^2$,　$s_y^2$ とすると

　$s_x^2=\overline{x^2}-(\bar{x}{)}^2$ より
　$s_x^2={\displaystyle \frac{1}{5}(5^2+7^2+4^2+3^2+6^2)-5^2=}$ $2$

　$s_y^2=\overline{y^2}-(\bar{y}{)}^2$ より
　$s_x^2={\displaystyle \frac{1}{5}(4^2+6^2+8^2+3^2+9^2)-6^2=}$ $5.2$

よって、標準偏差は、

　$s_x=\sqrt{2}=1.4\cdots$ よって、$1.4$
　$s_7=\sqrt{5.2}=2.3\cdots$ よって、$2.3$

(2)

(1) から、$s_y>s_x$

ゆえに、$y$ のデータの方が散らばりの度合いが大きい。

相関係数

相関係数の公式

相関係数の例題と解説

次の表は、学生 $5$ 名の身長 $x$（cm）と体重 $y$ （kg）を測定した結果である。$x$ と $y$ の相関係数 $r$ を求めよ。

	A	B	C	D	E
身長 $x$ （cm）	181	167	173	169	165
体重 $y$ （kg）	75	59	63	67	61

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（解説）

$x$,　$y$ のデータの平均をそれぞれ $\bar{x}$,　$\bar{y}$ とすると

　$\bar{x}=\frac{1}{5}(181+167+173+169+165)=171$
　$\bar{y}=\frac{1}{5}(75+59+63+67+61)=65$

※　分母の標準偏差、分子の共分散それぞれを直接計算しても良い。

ゆえに、相関係数 $r$ は

　$r={\displaystyle \frac{140}{\sqrt{160\times 160}}}$
　　$={\displaystyle \frac{140}{160}}$
　　$=0.875$

おわりに