【ベクトル】『ベクトルの計算』ベクトルの等式の証明とベクトルの演算

ベクトルの等式の証明

ベクトルを含んだ等式の証明の解き方について解説していきます！

ベクトルの計算をするときに注目する点は、「始点」です。

始点が揃っていればそこまで難しい問題ではございません。以下の公式を用いて視点を揃えた上で計算を進めましょう！

等式の証明の書き方は以下をチェック

ベクトルの等式の証明（問題）

(1)　$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{EC}+\overrightarrow{FD}=\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{FC}+\overrightarrow{AD}$ を示しなさい。

(2)　次の問いを求めなさい。

(ア)　$\overrightarrow{x}=2\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}$,　$\overrightarrow{y}=-4\overrightarrow{a}+5\overrightarrow{b}-3\overrightarrow{c}$ のとき、$\overrightarrow{x}-\overrightarrow{y}$ を $\overrightarrow{a}$,　$\overrightarrow{b}$,　$\overrightarrow{c}$ で表せ。
(イ)　$4\overrightarrow{x}-3\overrightarrow{a}=\overrightarrow{x}+6\overrightarrow{b}$ を $\overrightarrow{x}$ を $\overrightarrow{a}$,　$\overrightarrow{b}$ で表せ。
(ウ)　$3\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}=\overrightarrow{a}$,　$5\overrightarrow{x}+2\overrightarrow{y}=\overrightarrow{b}$ を満たす $\overrightarrow{x}$,　$\overrightarrow{y}$ を $\overrightarrow{a}$,　$\overrightarrow{b}$ で表せ。

解説

(1)　$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{EC}+\overrightarrow{FD}=\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{FC}+\overrightarrow{AD}$

(左辺)$=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AF}$
(右辺)$=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{AD}$

(左辺)$-$(右辺)$=0$

(2)

ベクトルの計算は、文字の計算と同じように扱うことができます。ベクトルの符号を付けるのを忘れないように計算をしてみましょう。

(ア)　$\overrightarrow{x}-\overrightarrow{y}$

$=2\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}-(-4\overrightarrow{a}+5\overrightarrow{b}-3\overrightarrow{c})$
$=2\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}+4\overrightarrow{a}-5\overrightarrow{b}+3\overrightarrow{c}$
$=2\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}+4\overrightarrow{a}-5\overrightarrow{b}+3\overrightarrow{c}$
$=6\overrightarrow{a}-8\overrightarrow{b}+2\overrightarrow{c}$

(イ)　$4\overrightarrow{x}-3\overrightarrow{a}=\overrightarrow{x}+6\overrightarrow{b}$

$=4\overrightarrow{x}-\overrightarrow{x}=3\overrightarrow{a}+6\overrightarrow{b}$
$=3\overrightarrow{x}=3\overrightarrow{a}+6\overrightarrow{b}$
$=\overrightarrow{x}=\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}$

(ウ)　$3\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}=\overrightarrow{a}$,　$5\overrightarrow{x}+2\overrightarrow{y}=\overrightarrow{b}$

$3\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}=\overrightarrow{a}$ $\cdots$ ①
$5\overrightarrow{x}+2\overrightarrow{y}=\overrightarrow{b}$ $\cdots$ ② とおく。

① $\times 2-$ ② から　$\overrightarrow{x}=2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$

これを ① に代入して　$6\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}+\overrightarrow{y}=\overrightarrow{a}$

よって、$\overrightarrow{y}=-5\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}$

おわりに