ベクトルと平行四辺形
今回はベクトルの成分表示および平行四辺形の頂点に関する問題です!
始点の変換方法(分割)
\(\overrightarrow{PQ}=\bigcirc\overrightarrow{Q}-\bigcirc\overrightarrow{P}\)
ベクトルの大きさ
\(\overrightarrow{a}=(a_1\), \(a_2)\) のとき、\(|\overrightarrow{a}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2}\)
平行四辺形 \(ABCD\) の特徴
辺 \(BA\) と辺 \(CD\) について、長さが等しいかつ平行なので、\(\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CD}\)
平行四辺形(問題)
\(3\) 点 \(A(1,\) \(3)\), \(B(3,\), \(-2)\), \(C(4\), \(1)\) がある。
(1) \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{BC}\), \(\overrightarrow{CA}\) の成分と大きさをそれぞれ求めよ。
(2) 四角形 \(ABCD\) が平行四辺形であるとき、点 \(D\) の座標を求めよ。
(3) (2) の平行四辺形について、\(2\) 本の対角線の長さを求めよ。
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解説
(1) \(\overrightarrow{OA}=(1,\ 3)\), \(\overrightarrow{OB}=(3,\ -2)\), \(\overrightarrow{OC}=(4,\ 1)\) と表せるので、
始点の変換方法(分割)
\(\overrightarrow{PQ}=\bigcirc\overrightarrow{Q}-\bigcirc\overrightarrow{P}\)
\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=(3-1,\ -2-3)=(2,\ -5)\)
\(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}=(4-3,\ 1+2)=(1,\ 3)\)
\(\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OC}=(1-4,\ 3-1)=(-3,\ 2)\)
ベクトルの大きさ
\(\overrightarrow{a}=(a_1\), \(a_2)\) のとき、\(|\overrightarrow{a}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2}\)
\(|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{2^2+(-5)^2}=\sqrt{29}\)
\(|\overrightarrow{BC}|=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}\)
\(|\overrightarrow{CA}|=\sqrt{(-3)^2+2^2}=\sqrt{13}\)
(2) 四角形 \(ABCD\) が平行四辺形であるとき、点 \(D\) の座標を求めよ。
四角形 \(ABCD\) は平行四辺形であり、辺 \(AB\) と 辺 \(DC\) は長さが同じで平行なので、\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BC}\)
よって、\((2,\ -5)=(4-a,\ 1-b)\)
ゆえに、\(2=4-a\), \(-5=1-b\)
これを解いて、\(a=2\), \(b=6\) したがって、\(D(2,\ 6)\)
(3) (2) の平行四辺形について、\(2\) 本の対角線の長さを求めよ。
\(2\) 本の対角線の長さは \(|\overrightarrow{AC}|\), \(|\overrightarrow{BD}|\) である。
よって、(1) から \(|\overrightarrow{AC}|=\sqrt{13}\)
\(\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OB}=(2-3,\ 6+2)=(-1,\ 8)\)
\(|\overrightarrow{BD}|=\sqrt{(-1)^2+8^2}=\sqrt{65}\)
おわりに
さいごまで記事を読んでいただきありがとうございました!
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