【三角比】『正弦定理/余弦定理の証明』

正弦定理
三角形 $\mathrm{△}ABC$ の外接円の半径を $R$ としたとき、

${\displaystyle \frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R}$

$\mathrm{\angle }A$ が直角のとき

$\mathrm{\angle }A={90}^{\circ }$ のとき、上の図より

$a=2R$

よって、

${\displaystyle \frac{a}{2R}=1}$

となります。また、$\sin {90}^{\circ }=1$ なので、

${\displaystyle \frac{a}{2R}=\sin {90}^{\circ }}$

したがって、

${\displaystyle \frac{a}{\sin {90}^{\circ }}=2R}$

$\mathrm{\angle }A$ が鈍角のとき

四角形 $AB{A}^{\prime }C$ は円に内接しているので、内接四角形の性質より、

$\mathrm{\angle }A+\mathrm{\angle }{A}^{\prime }={180}^{\circ }$

$\mathrm{\angle }{A}^{\prime }={180}^{\circ }-\mathrm{\angle }A$

よって、$\sin A^{\prime }=\sin ({180}^{\circ }-A)$

${180}^{\circ }-\theta$ の変換公式より、

$\sin ({180}^{\circ }-A)=\sin A$

したがって、$\sin A^{\prime }=\sin A$ $\cdots$ ①

また、$\mathrm{△}{A}^{\prime }BC$ に着目すると

$\sin A^{\prime }={\displaystyle \frac{a}{2R}}$

${\displaystyle \frac{a}{\sin A^{\prime }}=2R}$ $\cdots$ ②

①, ② より

${\displaystyle \frac{a}{\sin A}=2R}$

余弦定理

$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$
$b^2=c^2+a^2-2ca\cos B$
$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$

$\mathrm{\angle }A$ が鋭角のとき

$\mathrm{△}ABH$ に着目すると

$AH=c\cdot \cos A$, $BH=c\cdot \sin A$

次に、$\mathrm{△}BCH$ で三平方の定理を適用すると、

$B{C}^2=B{H}^2+C{H}^2$

$a^2=(c\cdot \sin A{)}^2+(b-c\cdot \cos A{)}^2$

$=c^2{\sin }^{2}A+b^2-2bc\cdot \cos A+c^2{\cos }^{2}A$

$=c^2({\sin }^{2}A+{\cos }^{2}A)+b^2-2bc\cdot \cos A$

$=c^2\cdot 1+b^2-2bc\cdot \cos A$

$=c^2+b^2-2bc\cdot \cos A$

$\mathrm{\angle }A$ が直角のとき

$\mathrm{\angle }A={90}^{\circ }$ のとき、「余弦定理は三平方の定理そのもの」といえます。

上の図で、三平方の定理より、

$a^2=b^2+c^2$

であり、$\cos A=\cos {90}^{\circ }=0$ なので、

$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$

が成り立っています（$\cos A=0$ だから）。

$\mathrm{\angle }A$ が鈍角のとき

$BH=c\cdot \sin ({180}^{\circ }-A)=c\sin A$

$AH=c\cdot \cos ({180}^{\circ }-A)=-c\cos A$

次に、$\mathrm{△}BCH$ で三平方の定理を適用すると、

$B{C}^2=B{H}^2+C{H}^2$

$=B{H}^2+(AC+AH{)}^2$

$a^2=(c\sin A{)}^2+(b-c\cos A{)}^2$

$=c^2{\sin }^{2}A+b^2-2bc\cdot \cos A+c^2{\cos }^{2}A$

$=c^2({\sin }^{2}A+{\cos }^{2}A)+b^2-2bc\cdot \cos A$

$=c^2\cdot 1+b^2-2bc\cdot \cos A$

$a^2=c^2+b^2-2bc\cdot \cos A$