【三角比】『正弦定理/余弦定理の証明』

正弦定理
三角形 \(\triangle{ABC}\) の外接円の半径を \(R\) としたとき、

\(\displaystyle\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R\)

\(\angle{A}\) が直角のとき

\(\angle{A}=90^{\circ}\) のとき、上の図より

\(a=2R\)

よって、

\(\displaystyle\frac{a}{2R}=1\)

となります。また、\(\sin90^{\circ}=1\) なので、

\(\displaystyle\frac{a}{2R}=\sin90^{\circ}\)

したがって、

\(\displaystyle\frac{a}{\sin90^{\circ}}=2R\)

\(\angle{A}\) が鈍角のとき

四角形 \(ABA’C\) は円に内接しているので、内接四角形の性質より、

\(\angle{A}+\angle{A’}=180^{\circ}\)

\(\angle{A’}=180^{\circ}-\angle{A}\)

よって、\(\sin A’=\sin(180^{\circ}-A)\)

\(180^{\circ}-\theta\) の変換公式より、

\(\sin (180^{\circ}-A)=\sin A\)

したがって、\(\sin A’=\sin A\) \(\cdots\) ①

また、\(\triangle{A’BC}\) に着目すると

\(\sin A’=\displaystyle\frac{a}{2R}\)

\(\displaystyle\frac{a}{\sin A’}=2R\) \(\cdots\) ②

①, ② より

\(\displaystyle\frac{a}{\sin A}=2R\)

余弦定理

\(a^2=b^2+c^2-2bc\cos A\)
\(b^2=c^2+a^2-2ca\cos B\)
\(c^2=a^2+b^2-2ab\cos C\)

\(\angle{A}\) が鋭角のとき

\(\triangle{ABH}\) に着目すると

\(AH=c\cdot\cos A\), \(BH=c\cdot\sin A\)

次に、\(\triangle{BCH}\) で三平方の定理を適用すると、

\(BC^2=BH^2+CH^2\)

\(a^2=(c\cdot\sin A)^2+(b-c\cdot\cos A)^2\)

\(=c^2\sin^2 A+b^2-2bc\cdot\cos A+c^2\cos^2 A\)

\(=c^2(\sin^2 A+\cos^2 A)+b^2-2bc\cdot\cos A\)

\(=c^2\cdot 1+b^2-2bc\cdot\cos A\)

\(=c^2+b^2-2bc\cdot\cos A\)

\(\angle{A}\) が直角のとき

\(\angle{A}=90^{\circ}\) のとき、「余弦定理は三平方の定理そのもの」といえます。

上の図で、三平方の定理より、

\(a^2=b^2+c^2\)

であり、\(\cos A=\cos 90^{\circ}=0\) なので、

\(a^2=b^2+c^2-2bc\cos A\)

が成り立っています（\(\cos A=0\) だから）。

\(\angle{A}\) が鈍角のとき

\(BH=c\cdot\sin(180^{\circ}-A)=c \sin A\)

\(AH=c\cdot\cos(180^{\circ}-A)=-c \cos A\)

次に、\(\triangle{BCH}\) で三平方の定理を適用すると、

\(BC^2=BH^2+CH^2\)

\(=BH^2+(AC+AH)^2\)

\(a^2=(c\sin A)^2+(b-c\cos A)^2\)

\(=c^2\sin^2 A+b^2-2bc\cdot \cos A+c^2\cos^2 A\)

\(=c^2(\sin^2 A+\cos^2 A)+b^2-2bc\cdot \cos A\)

\(=c^2\cdot 1+b^2-2bc\cdot \cos A\)

\(a^2=c^2+b^2-2bc\cdot \cos A\)