【三角比】三角形の角の大きさと辺の長さの関係

（証明）

次のような直線 \(AB\) と直線 \(AB\) 上の点 \(Q\) を考える。

直線 \(AB\) 上に点 \(Q\) をとり、\(\angle{PQB}\) を考える。点 \(P\) から直線 \(AB\) に下ろした垂線の足を \(H\) とすると、\(H\) より \(A\) 側に点 \(Q\) があるとき、\(\angle{PQB}\) は鋭角になり、線分 \(BH\) 上に点 \(Q\) があるときは \(\angle{PQB}\) は鈍角になる。

この結果から、点 \(Q\) を \(A\) から \(B\) の方へ動かすにつれて、\(\angle{PQB}\) は大きくなることが分かる。

まず、\(AC>BC\) である \(\triangle{ABC}\) について、\(A<B\) であることを証明する。\(BC=CD\) となるように辺 \(AC\) 上に点 \(D\) をとると、\(\triangle{BCD}\) は二等辺三角形であるから、\(\angle{CDB}=\angle{CBD}\) となる。

ここで、\(\angle{BAC}<\angle{BDC}\) であるから、\(\angle{BAC}<\angle{CBD}\)、すなわち \(A<B\) である。逆に \(A<B\) のときも同様に考えれば \(AC>BC\) であることは明らかである。したがって、三角形の \(2\) 辺の大小関係は、その向かい合う角の大小関係と一致する。

【三角形の形状を調べる方法】

三角形の内角の1つに着目したとき、その角が鋭角・直角・鈍角かを調べるには、その角のコサインの符号を調べれば良い。例えば、\(A\) を調べるときは、余弦定理を利用して

　\(\cos A=\displaystyle\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\)

の符号を調べれば良い。ここで、分母の \(2bc\) は常に正であるから、\(\cos A\) の符号と \(b^2+c^2-a^2\) の符号は一致する。つまり、\(b^2+c^2-a^2\) の符号を調べれば良いことになる。ちなみにこれは \(a^2\) と \(b^2+c^2\) の大小関係を調べることと同じである。

問題

\(\triangle{ABC}\) において、3辺の長さが次のようなとき、\(\triangle{ABC}\) は鋭角三角形、直角三角形、鈍角三角形のいずれかであるか。
(1)　\(a=4\),　\(b=3\),　\(c=2\)
(2)　\(a=5\),　\(b=6\),　\(c=7\)
(3)　\(a=12\),　\(b=13\),　\(c=5\)