【三角関数】『三角方程式』解法 3 パターン

三角方程式

　$\sin \theta ={\displaystyle \frac{1}{2}}$

三角関数の相互関係

$\mathrm{Ⅰ}$　${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$

$\mathrm{Ⅱ}$　$\tan \theta ={\displaystyle \frac{\sin \theta }{\cos \theta }}$

$\mathrm{Ⅲ}$　${\tan }^2\theta +1={\displaystyle \frac{1}{{\cos }^2\theta }}$

三角関数の倍角の公式

$\mathrm{Ⅰ}$　$\sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta$

$\mathrm{Ⅱ}$　$\cos 2\theta ={\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta$

　　　$=1-2{\sin }^2\theta =2{\cos }^2\theta -1$

$\mathrm{Ⅲ}$　$\tan 2\theta ={\displaystyle \frac{2\tan \theta }{1-{\tan }^2\theta }}$

三角関数の合成

$a\sin \theta +b\sin \theta$
$=\sqrt{a^2+b^2}\left({\displaystyle \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\sin \theta +{\displaystyle \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\cos \theta }}\right)$

ここで、$\cos \alpha ={\displaystyle \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}}$,　$\sin \alpha ={\displaystyle \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}}$ とおくと、

$=\sqrt{a^2+b^2}(\cos \alpha \sin \theta +\sin \alpha \cos \theta )$
$=\sqrt{a^2+b^2}\sin (\theta +\alpha )$

例題

　${\cos }^2\theta +2\cos \theta +1=0$ ($0\le \theta <2\pi$)

解説

$\cos \theta =t$ とおくと、$t^2+2t+1=0$
$(t+1{)}^2=0$ より $t=-1$
よって、$\cos \theta =-1$ となり、$0\le \theta <2\pi$ より $\theta =\pi$

例題

　${\cos }^2\theta -\sin \theta +1=0$ ($0\le \theta <2\pi$)

解説

三角比の相互関係より ${\cos }^2\theta =1-{\sin }^2\theta$ となるので、

${\cos }^2\theta -\sin \theta +1=0$
$1-{\sin }^2\theta -\sin \theta +1=0$
$-{\sin }^2\theta -\sin \theta +2=0$
${\sin }^2\theta +\sin \theta -2=0$
$(\sin \theta +2)(\sin \theta -1)=0$
$\sin \theta =-2$,　$\sin \theta =1$

$0\le \theta <2\pi$ より $-1\le \sin \theta \le 1$ なので、
$\sin \theta =1$ のみとなり、$\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$

例題

　$\cos 2\theta -3\sin \theta -2=0$ ($0\le \theta <2\pi$)

解説

2 倍角の公式より $\cos 2\theta =1-2{\sin }^2\theta$ となるので、

$\cos 2\theta -3\sin \theta -2=0$
$1-2{\sin }^2\theta -3\sin \theta -2=0$
$-2{\sin }^2\theta -3\cos \theta -1=0$
$2{\sin }^2\theta +3\sin \theta +1=0$
$(2\sin \theta +1)(\sin \theta +1)=0$
$\sin \theta =-{\displaystyle \frac{1}{2}}$,　$\sin \theta =-1$

$0\le \theta <2\pi$ より $\theta ={\displaystyle \frac{7}{6}\pi }$,　${\displaystyle \frac{11}{6}\pi }$,　${\displaystyle \frac{3}{2}\pi }$

問題

　$\sin 2\theta -\cos 2\theta =1$ ($0\le \theta <2\pi$)

解説

三角関数の合成より
$\sqrt{2}\left({\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}\sin 2\theta -{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}\cos 2\theta }}\right)=1$

ここで、${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}=\cos \alpha }$,　${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}=\sin \alpha }$ とおくと、

$\sqrt{2}(\cos \alpha \sin 2\theta -\sin \alpha \cos 2\theta )=1$
$\sqrt{2}\sin (2\theta -{\displaystyle \frac{\pi }{4}})=1$
$\sin (2\theta -{\displaystyle \frac{\pi }{4}})={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}$
$2\theta -{\displaystyle \frac{\pi }{4}=t}$ とおくと,　$-{\displaystyle \frac{\pi }{4}\le t\le -{\displaystyle \frac{15}{4}\pi }}$ となる。

$\sin t={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}$
$t={\displaystyle \frac{\pi }{4}}$,　${\displaystyle \frac{3}{4}\pi }$

$2\theta -{\displaystyle \frac{\pi }{4}=t}$ より

$2\theta -{\displaystyle \frac{\pi }{4}={\displaystyle \frac{\pi }{4}}}$
$2\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$
$\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{4}}$

$2\theta -{\displaystyle \frac{\pi }{4}={\displaystyle \frac{3}{4}\pi }}$
$2\theta =\pi$
$\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$

よって、$\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{4}}$,　$\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$