【三角関数】和と積の公式

「公式を覚える」とは、聞かれた時に思考を挟まずに反射的に答えられることを言う。

by Math kit運営 yu-to

三角関数の和と積の公式の証明

積和の公式の証明

加法定理より

$\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\sin \beta \cos \alpha$ $\cdots$ ①
$\sin (\alpha -\beta )=\sin \alpha \cos \beta -\sin \beta \cos \alpha$ $\cdots$ ②

①＋②より

　$\sin (\alpha +\beta )+\sin (\alpha -\beta )=2\sin \alpha \cos \beta$

　$\sin \alpha \cos \beta ={\displaystyle \frac{1}{2}\sin (\alpha +\beta )+\sin (\alpha -\beta )}$ $\cdots$ $(i)$

また、①ー②より

　$\sin (\alpha +\beta )-\sin (\alpha -\beta )=2\cos \alpha \sin \beta$

　$\cos \alpha \sin \beta ={\displaystyle \frac{1}{2}\sin (\alpha +\beta )-\sin (\alpha -\beta )}$ $\cdots$ $(ii)$

次に加法定理より

　$\cos (\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta$ $\cdots$ ③
　$\cos (\alpha -\beta )=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta$ $\cdots$ ④

③＋④

　$\cos (\alpha +\beta )+\cos (\alpha -\beta )=2\cos \alpha \cos \beta$

　$\cos \alpha \cos \beta ={\displaystyle \frac{1}{2}\cos (\alpha +\beta )+\cos (\alpha -\beta )}$ $\cdots$ $(iii)$

また、③ー④

　$\cos (\alpha +\beta )-\cos (\alpha -\beta )=-2\sin \alpha \sin \beta$

　$\sin \alpha \sin \beta =-{\displaystyle \frac{1}{2}\cos (\alpha +\beta )-\cos (\alpha -\beta )}$ $\cdots$ $(iv)$

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和積の公式の証明

$\alpha +\beta =A$,　$\alpha -\beta =B$ とおくと

　$\alpha ={\displaystyle \frac{A+B}{2}}$,　$\beta ={\displaystyle \frac{A-B}{2}}$ $\cdots$ ⑤

⑤ を $(i)$ に代入すると、

$\sin \alpha \cos \beta ={\displaystyle \frac{1}{2}\sin (\alpha +\beta )+\sin (\alpha -\beta )}$ $\cdots$ $(i)$

　$\sin \frac{A+B}{2}\cos \frac{A-B}{2}={\displaystyle \frac{1}{2}(\sin A+\sin B)}$

　$=\sin A+\sin B=2\sin \frac{A+B}{2}\cos \frac{A-B}{2}$

⑤ を $(ii)$ に代入すると、

$\cos \alpha \sin \beta ={\displaystyle \frac{1}{2}\sin (\alpha +\beta )-\sin (\alpha -\beta )}$ $\cdots$ $(ii)$

　$\cos \frac{A+B}{2}\sin \frac{A-B}{2}={\displaystyle \frac{1}{2}(\sin A-\sin B)}$

　$=\sin A-\sin B=2\cos \frac{A+B}{2}\sin \frac{A-B}{2}$

⑤ を $(iii)$ に代入すると、

$\cos \alpha \cos \beta ={\displaystyle \frac{1}{2}\cos (\alpha +\beta )+\cos (\alpha -\beta )}$ $\cdots$ $(iii)$

　$\cos \frac{A+B}{2}\cos \frac{A-B}{2}={\displaystyle \frac{1}{2}(\cos A+\cos B)}$

　$=\cos A+\cos B=2\cos \frac{A+B}{2}\cos \frac{A-B}{2}$

⑤ を $iv$ に代入すると、

$\sin \alpha \sin \beta =-{\displaystyle \frac{1}{2}\cos (\alpha +\beta )-\cos (\alpha -\beta )}$ $\cdots$ $(iv)$

　$\sin \frac{A+B}{2}\sin \frac{A-B}{2}=-{\displaystyle \frac{1}{2}(\cos A-\cos B)}$

　$=\cos A-\cos B=-2\sin \frac{A+B}{2}\sin \frac{A-B}{2}$

和と積の公式の問題

積和の公式、和積の公式を用いて、次の値を求めよ。
　(1)　$\sin {75}^{\circ }\cos {15}^{\circ }$
　(2)　$\sin {75}^{\circ }+\sin {15}^{\circ }$
　(3)　$\cos {20}^{\circ }\cos {40}^{\circ }\cos {80}^{\circ }$

（解説）

(1)　$\sin {75}^{\circ }\cos {15}^{\circ }$

$\sin \alpha \cos \beta ={\displaystyle \frac{1}{2}\sin (\alpha +\beta )+\sin (\alpha -\beta )}$ より

$\sin {75}^{\circ }\cos {15}^{\circ }={\displaystyle \frac{1}{2}(\sin {90}^{\circ }+\sin {60}^{\circ })}$

$={\displaystyle \frac{1}{2}(1+\frac{\sqrt{3}}{2})}$

$={\displaystyle \frac{2+\sqrt{3}}{4}}$

(2)　$\sin {75}^{\circ }+\sin {15}^{\circ }$

$\sin A+\sin B=2\sin \frac{A+B}{2}\cos \frac{A-B}{2}$ より

$\sin {75}^{\circ }+\sin {15}^{\circ }=2\sin \frac{A+B}{2}\cos \frac{A-B}{2}$

(3)　$\cos {20}^{\circ }\cos {40}^{\circ }\cos {80}^{\circ }$ $\cdots$ ①

$A$ を ① に代入すると、

$({\displaystyle \frac{1}{4}+\frac{1}{2}\cos {20}^{\circ })}$ $\cos {80}^{\circ }$

$={\displaystyle \frac{1}{4}\cos {80}^{\circ }+\frac{1}{2}\cos {20}^{\circ }\cos {80}^{\circ }}$ $\cdots$ ②

次に、

$B$ を② に代入すると、

${\displaystyle \frac{1}{4}\cos {80}^{\circ }+}$ ${\displaystyle \frac{1}{2}({\displaystyle \frac{1}{4}+\frac{1}{2}\cos {100}^{\circ })}}$

$={\displaystyle \frac{1}{4}\cos {80}^{\circ }+\frac{1}{8}+\frac{1}{4}\cos {100}^{\circ }}$ $\cdots$ ③

$C$ を ③ に代入すると、

${\displaystyle \frac{1}{4}\cos {80}^{\circ }+\frac{1}{8}+{\displaystyle \frac{1}{4}\cdot }}$ $(-\cos {80}^{\circ })$

$={\displaystyle \frac{1}{8}}$

おわりに