【三角関数】合成

三角関数の合成

$a\sin \theta +b\cos \theta =\sqrt{a^2+b^2}\sin (\theta +\alpha )$ のように $1$ つの三角関数にまとめることを合成といいます。（加法定理の逆の操作です。）

加法定理の逆の操作

（手順）

$2$ 行目：$\sqrt{a^2+b^2}$ で強引に括っていますが、必ず $2$ 乗の和が $1$ となる分数 ${\displaystyle \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}}$ と ${\displaystyle \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}}$ が出てきます。

$3$ 行目：並び替え

$4$ 行目：${\displaystyle \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}=\cos \alpha }$,　${\displaystyle \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}=\sin \alpha }$ とできるような偏角 $\alpha$ を探して変形

$5$ 行目：加法定理の逆の操作で $\sin$ でまとめます。

図をかいて計算する

この方法は、$\sin$ の合成限定の方法です。図にすると応用がききますが、上の内容が十分に理解できていないと難しいかもしれません。難しいと感じる人はまずは上の方法でこの後の練習問題を解いてみてください。

$a$ $\sin \theta +$ $b$ $\cos \theta$

$=\sqrt{a^2+b^2}\cos \alpha$ $\sin \theta +$ $\sqrt{a^2+b^2}\sin \alpha$ $\cos \theta$

$=\sqrt{a^2+b^2}(\sin \theta \cos \alpha +\cos \theta \sin \alpha )$

$=\sqrt{a^2+b^2}\sin (\theta +\alpha )$

$\alpha$ は座標平面上の点 $(a$,　$b)$ と原点とのなす角

三角関数の合成の基本問題

次の式を、$r\sin (\theta +\alpha )$ の形に変形せよ。ただし、 $r>0$,　$-\pi <\alpha <\pi$

(1)　$\sqrt{3}\sin \theta +\cos \theta$

(2)　$\sin \theta -\cos \theta$

（解説）

$\sqrt{a^2+b^2}$ で強引に括るのが第一歩

(1)　$\sqrt{3}\sin \theta +\cos \theta$

　$=\sqrt{{\sqrt{3}}^2+1^2}({\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\sin \theta +\frac{1}{2}\cos \theta )}$

　$=2(\sin \theta \cdot {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}+\cos \theta \cdot \frac{1}{2})}$

$\cos \alpha ={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$,　$\sin \alpha ={\displaystyle \frac{1}{2}}$ となるような $\alpha$ を探す。

　$=2(\sin \theta \cos {\displaystyle \frac{\pi }{6}+\cos \theta \sin \frac{\pi }{6})}$

　$=2\sin (\theta +{\displaystyle \frac{\pi }{6})}$

（別解）

$\sqrt{3}$ $\sin \theta +$ $1$ $\cos \theta$

$=2\sin (\theta +{\displaystyle \frac{\pi }{6})}$

(2)　$\sin \theta -\cos \theta$

　$=\sqrt{1^2+1^2}({\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}\sin \theta -\frac{1}{\sqrt{2}}\cos \theta )}$

　$=\sqrt{2}(\sin \theta \cdot {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}-\cos \theta \cdot \frac{1}{\sqrt{2}})}$

$\cos \alpha ={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}$,　$\sin \alpha ={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}$ となるような $\alpha$ を探す。

　$=\sqrt{2}(\sin \theta \cos {\displaystyle \frac{\pi }{4}-\cos \theta \sin \frac{\pi }{4})}$

　$=\sqrt{2}\sin (\theta -{\displaystyle \frac{\pi }{4})}$

（別解）

$1$ $\sin \theta +$ $(-1)$ $\cos \theta$

$=\sqrt{2}\sin \{\theta +(-{\displaystyle \frac{\pi }{4})\}}$

$=\sqrt{2}\sin (\theta -{\displaystyle \frac{\pi }{4})}$

三角関数の合成の応用問題

$y=3\cos x+4\sin x$ $(0\le x\le \pi )$ の最大値、最小値を求めよ。

（解説）

$y=3\cos x+4\sin x$

　$=\sqrt{3^2+4^2}({\displaystyle \frac{3}{5}\cos x+\frac{4}{5}\sin x)}$

　$=5\cos (x-\alpha )$

$-\alpha \le x-\alpha \le \pi -\alpha$ また、$-\frac{\pi }{2}<-\alpha <0$,　$\frac{\pi }{2}<\pi -\alpha <\pi$ より

$x=\alpha$ のとき、最大値 $5$
$x=\pi$ のとき、最小値 $-3$

おわりに