【二次関数】二次関数の係数の符号を判定

二次関数の係数の符号を判定

今回は二次関数の係数の符号によって、グラフがどのように変化するのかを考えていきます。では早速まとめていきます。

二次関数は一般的に次の形で表されます。

$$f(x)=ax^2+bx+c$$

ここで、\(a,　b,　c\) は実数の係数です。それぞれの係数の符号によって二次関数のグラフの形がどのように変わるかを見ていきましょう。

二次関数の係数の符号によるグラフの形

二次関数のグラフは放物線の形をしており、その開き方や位置は上記の係数の符号によって決まります。

例1) \(f(x)=x^2-4x+3\) について

\(a=1\)（正）→ 放物線は上に開く
\(b=-4\)（負）→ 軸は右にシフト
\(c=3\)（正）→ y軸の正の側で交わる

例2) \(f(x)=-2x^2+6x-1\) について

\(a=-2\)（負）→ 放物線は下に開く
\(b=6\)（正）→ 軸は左にシフト
\(c=-1\)（負）→ \(y\) 軸の負の側で交わる

これが二次関数の係数の符号がグラフにどのように影響するかの基本的な説明です。

二次関数の係数の符号（問題）

\(2\) 次関数 \(y=ax^2+bx+c\) のグラフが下の図のようになるとき、次の値の符号を調べよ。

(1)　\(a\)
(2)　\(b\)
(3)　\(c\)
(4)　\(b^2-4ac\)
(5)　\(a+b+c\)
(6)　\(a-b+c\)

解説

(1)　\(a\)

　グラフは上に凸であるから　\(a<0\)

(2)　\(b\)

　\(y=ax^2+bx+c\) の軸は、

　\(y=a\big(x^2+\displaystyle\frac{b}{a}x\big)+c\)

　\(=a\big(x+\displaystyle\frac{b}{2a}\big)^2-\frac{b^2}{4a}+c\)

　\(=a\big(x+\displaystyle\frac{b}{2a}\big)^2-\frac{b^2-4ac}{4a}\)

　よって、軸は　\(x=-\displaystyle\frac{b}{2a}\) となる。

　今回のグラフの軸は正なので　\(-\displaystyle\frac{b}{2a}>0\) となり、\(b>0\)

(3)　\(c\)

　\(y=f(x)\) とおくと、\(f(0)<0\) より \(c<0\)

(4)　\(b^2-4ac\)

　異なる \(2\) 点で交わるので、\(b^2-4ac>0\)

(5)　\(a+b+c\)

　\(x=1\) のとき　\(y=a+b+c\)

　よって　\(a+b+c>0\)

(6)　\(a-b+c\)

　\(x=-1\) のとき　\(y=a-b+c\)

おわりに