【二次関数】変域が変化する場合の最大値と最小値

グラフの概形をイメージせよ！

今回は、変域が変化する場合の問題を扱っていきます。

元の式に文字が $2$ 種類含まれている場合の最大・最小の問題は以前に扱っていますが、今回は変域が変化します。
変域が動けば、その範囲内での最大・最小が変化するのは当然ですね。
どの範囲ならばグラフがどんな形をしているのか、そのときのグラフの概形をイメージすることが、このタイプの問題を解くコツです。

では、見ていきましょう。

最大値と最小値（問題）

関数 $f(x)=x^2-5x+3(0\le x\le a)$ の最大値と最小値を求めなさい。

最大値と最小値（答案の例）

$f(x)=(x-{\displaystyle \frac{5}{2}}{)}^2-{\displaystyle \frac{13}{4}}$ なので、以下のようなグラフになる。

①　 $0<a<{\displaystyle \frac{5}{2}}$ のとき

最大値は、
　 $f(0)=3$
最小値は、
　 $f(a)=a^2-5a+3$

②　${\displaystyle \frac{5}{2}}\le a\le 5$ のとき

最大値は、
　 $f(0)=3$
最小値は、
　 $f({\displaystyle \frac{5}{2}})=-{\displaystyle \frac{13}{4}}$

③　$5<a$ のとき

最大値は、
　 $f(a)=a^2-5a+3$
最小値は、
　 $f({\displaystyle \frac{5}{2}})=-{\displaystyle \frac{13}{4}}$

最大値と最小値（解説）

最大値と最小値の $2$ つについて聞かれているため、分けて考えましょう。

最大値に着目した場合、どこが分岐点になるのでしょうか？

$x=0$ スタートは変わらないので、そこから下にグラフが下がっていくため、しばらくは最大値は $x=0$ のときの $y$ の値（ $f(0)$ の値）ということになります。（図 $1$ ）
このときの値は、
　$f(0)=3$
となります。

最大値が切り替わるタイミングは、グラフが再び上がり始めて、$f(0)=3$と同じになった時ですね。
これ以降グラフが上がっていくと、最大値はどんどん大きくなっていくことになります。（図 $2$ ）

そして最大値が切り替わるときの $x$ の値は、 $y$ の値が $3$ になるときのもう一つの $x$ の値なので、
　$3=x^2-5x+3$
　$x^2-5x=0$
　$x(x-5)=0$
よって、 $x=0,5$。これにより、もう一つの $x$ の値は $5$ であることがわかります。（図 $2$ ）

つまり、最大値は「 $0$ から $5$ まで」「 $5$ 以上」という $2$ つの区間で区分されることになります。

次に最小値ですが、こちらは頂点を経由するかどうかで決まります。（図 $3$ ）

図 $3$ のように、頂点を通過すれば、以降頂点の $y$ 座標を下回るものは出てこないため、頂点が最小値の切り替わる点ということになります。

よって、「 $0$ から ${\displaystyle \frac{5}{2}}$ まで」「${\displaystyle \frac{5}{2}}$ 以上」という $2$ つの区間で区分されます。

これまでのことを整理すると、図 $4$ のような分け方をすれば、最大と最小の変化をうまくカバーできることになります。

つまり、
　$0<a<$ ${\displaystyle \frac{5}{2}}$ のとき
　${\displaystyle \frac{5}{2}}\le a\le 5$ のとき
　$5$ $<a$ のとき
の $3$ 種類です。

ちなみに、最大値や最小値が $a$ の値で変化する部分は「＜（小なり）」となっています。
すなわち、上記の範囲の赤の部分ですね。