公務員試験対策（場合の数）
今回は、公務員試験で出題される場合の数の問題です！
場合の数は、出題パターンが多岐に渡り、
公式を覚えていたとしてもどのタイミングでどの公式を使用すればいいのかを見極めるのは至難の業です。
場合の数の基本は、「すべて書き出す」です。
書き出す中で法則性を導けるようにしましょう。
とはいえ、すべて書き出すのも限界があるので一般的な公式をいくつか紹介します。
和の法則と積の法則
和の法則
事柄 \(A\), \(B\) が同時に起こらないとき、\(A\) の起こり方が \(m\) 通り、\(B\) の起こり方が \(n\) 通りとすると、\(A\) または \(B\) のどちらかが起こる場合の数は、
\((m+n)\) 通り
である。
積の法則
事柄 \(A\) の起こり方が \(m\) 通りあり、その各々に対して事柄 \(B\) の起こり方が \(n\) 通りあるとき、\(A\) と \(B\) がともに起こる場合の数は、
\((m\times n)\) 通り
である。
順列と組合せ
順列
異なる \(n\) 個のものの中から異なる \(r\) 個を選んで並べる。
その時の順列の総数は、
\({}_nP_r=n\times (n-1)\times (n-2)\cdots (n-r+1)\)
組合せ
異なる \(n\) 個のものの中から異なる \(r\) 個を選んで並べない。（選ぶだけ）
その時の組合せの総数は、
\({}_nC_r=\displaystyle\frac{n\times (n-1)\times (n-2) \cdots (n-r+1)}{r!}\)
\(=\displaystyle\frac{{}_nP_r}{r!}\)
場合の数（問題①）
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ある会社で内線を設定することにした。番号は \(3\) ケタである。番号を以下の条件をすべて満たすように設定するとき、番号は何通りになるか。
① \(3\) ケタの数字はそれぞれ何番でもよく、\(0\) が先頭でもよいが、\(3\) つの数字はすべて異なる。
② 番号には \(1\) か \(2\) のうち一つだけ必ず入れる。
③ 番号には \(9\) か \(0\) のうち一つだけ必ず入れる。
1. \(72\) 通り
2. \(144\) 通り
3. \(216\) 通り
4. \(288\) 通り
5. \(360\) 通り
解説
まず、用いる \(3\) つの数字を選ぶ。
条件② より、\(1\) か \(2\) のうち \(1\) つが選ばれ、その選び方は \(2\) 通り。
同様に、条件③ より、\(9\) か \(0\) のうち \(1\) つが選ばれ、その選び方は \(2\) 通り。
また、条件①〜③ より、\(3\) つ目の数字は \(3\) 〜 \(8\) の数字から \(1\) つ選ばれるので、その選び方は \(6\) 通り。
よって、\(3\) つの数字の選び方は、積の法則より、
◎ 積の法則
積の法則
事柄 \(A\) の起こり方が \(m\) 通りあり、その各々に対して事柄 \(B\) の起こり方が \(n\) 通りあるとき、\(A\) と \(B\) がともに起こる場合の数は、
\((m\times n)\) 通り
である。
\(2\times 2\times 6=24\) 通り
次に、選ばれた異なる \(3\) つの数字の並べ方は、そのおのおのに対して、
\(3!=6\) 通り
以上より、求める場合の数は、積の法則より、
\(24\times 6=144\) 通り
であり、正答は \(2\) である。
「\(3\) つの数字がすべて異なる」という条件がなかったらもう少し場合分けが必要になりますね！
場合の数（問題②）
\(100\) 〜 \(999\) までの \(3\) ケタの自然数 \(900\) 個のうち、同じ数字が \(2\) 個以上含まれている数の個数として正しいのはどれか。
解説
余事象の考え方を使います。
（全パターン）\(-\) （各ケタの数が全て異なる数字）
百の位については、\(1\)〜\(9\) の \(9\) 通り、
十の位は百の位に使われた数字のほかに \(0\) も含まれるので、\(9\) 通り、
一の位は百の位と十の位に使われた数字以外の \(8\) 通りとなるので、
\(9\times 9\timres 8=648\)
これ以外は同じ数字が \(2\) 個以上含まれることになるので、
\(900-648=252\)
おわりに
さいごまで読んでいただきありがとうございました！
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