旅人算とは、速さの和や差を使って考える計算です!
「旅人算」には、「出会い」「追い越し」という言葉がよく登場します。そして、これらの言葉のせいで多くの中学受験生が混乱してしまいます…混乱しやすいポイントを解説をしながら例題を紐解いていきます。
旅人算(公務員試験対策)
今回は、旅人算の代表的な2パターンである「出会い算」と「追い越し算」について、じっくり考えてみましょう。
旅人算の例題
(例題)
A 地点と B 地点があります。太郎君は分速 \(80\) m、次郎君は分速 \(60\) mで同時に A 地点を出発しました。次郎君は B 地点に向かう途中で、先に B 地点を折り返してきた太郎君に出会いました。このとき、次の問いに答えなさい。
(1) AB間の道のりが \(1400\) mのとき、\(2\) 人が出会ったのは出発してから何分後ですか。
(2) B地点の \(150\) m手前で \(2\) 人が出会ったとすると、\(2\) 人が出会ったのは出発してから何分後ですか。
(1)も(2)も、「次郎君は B 地点に向かう途中で、先に B 地点を折り返してきた太郎君に出会いました。」という点では同じです。しかし、「どちらも出会い算だから、速さの和を使おう」と考えると間違いです。
間違うのは、次のような思い込みがあるせいです。
- 出会い算 → 速さの和を使う。
- 追い越し算 → 速さの差を使う。
多くの受験生は、「出会う」という言葉を見た瞬間、「速さの和を使う」と考えてしまいます。しかし、実際は、(1)が速さの和を使う問題で、(2)が速さの差を使う問題です。
速さの和を使う問題と速さの差を使う問題では、何が違うのでしょうか?
速さの和を使う問題と差を使う問題を区別するために、道のりに注目する必要があります。
(1)と(2)のそれぞれについて、状況図(線分図)を描いて、\(2\) 人の進んだ道のりを見てみましょう。
旅人算の例題(1)の解説
(1)では、A 地点と B 地点を線分の両端として、太郎君と次郎君の進んだ道のりを状況図で表しました。
赤い矢印が太郎君の移動した道のり、青い矢印が次郎君の進んだ道のりです。
まずは、\(2\) 人が出会ったのは \(x\) 分後として、それぞれの進んだ道のりを矢印の長さで表します。
「道のり=速さ×時間」なので、赤い矢印の長さは \(80\times x\)、青い矢印の長さは \(60\times x\) です。
次に、\(1400\) mを使うために、赤い矢印の長さと青い矢印の長さを足します。\(2\) 本の矢印の長さの和が \(1400\) mの \(2\) 倍になっていることに注意しましょう。
\(80\times x+60\times x=1400\times 2\)
分配法則より、
\((80+60)\times x=2800\)
\(x=2800\div (80+60)=20\)(分後)
旅人算の例題(2)の解説
(2)でも、(1)と同じように状況図を描きました。
\(2\) 人が出会ったのは \(x\) 分後として、赤い矢印の長さは \(80\times x\)、青い矢印の長さは \(60\times x\) です。\(150\) mを使うために、赤い矢印の長さから青い矢印の長さを引きます。ここが、(1)とは違うところです。また、\(2\) 本の矢印の長さの差が \(150\) mの \(2\) 倍になっています。
\(80\times x-60\times x=150\times 2\)
分配法則より、
\((80-60)\times x=300\)
\(x=300\div (80-60)=15\)(分後)
まとめ
旅人算では、道のりの和を考えるときに速さの和を使います。一方、道のりの差を考えるときには速さの差を使います。
「出会い」か「追い越し」かは関係ありません。しかし、多くの算数の問題集や参考書には、
「2人が出会う場合は速さの和を使う出会い算で、1人がもう1人を追い越す場合は速さの差を使う追い越し算です」
としか書かれていません。そのため、受験生は「出会い」「追い越し」という言葉に引きずられてしまいます。
旅人算で「速さの和を使うの?差を使うの?」と悩んでしまう受験生は、「出会い」「追い越し」という言葉を無視するとよいでしょう。そして、状況図を描くなどして、道のりの和と差のどちらを考えればいいのかに注目しましょう。そうすれば、速さの和と差のどちらを使うのかがわかるはずです。
さいごまで記事を読んでいただきありがとうございました!
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