複2次式の因数分解
今回も因数分解に関する記事ですが、解き方はわかりそうだけどなぜかうまくいかない、といった思考に陥りやすい問題を紹介していきます。みなさんは、次のような因数分解の問題をどのように考えますか？
\(x^4-2x^2+1\)
\(x^4\) があるので考えにくいですが、似たような問題を見たことがあれば、 \(x^2\) を何かの文字で置き変える方法を思いつくのではないでしょうか。
つまり、\(x^2=X\) とすると、
のように因数分解できます。さて、この後これと似た見た目の問題を扱っていくのですが、少し困ったことになるはずです。
では、具体例で一緒に見ていきましょう。
複2次式の因数分解の問題
次の式を因数分解しなさい。
（\(1\)）\(x^4+x^2+1\)
（\(2\)）\(4a^4-13a^2b^2+b^4\)
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複2次式の因数分解（答案の例）
（\(1\)） \(x^4+x^2+1\)
\(=(x^2+1)^2-x^2\)
\(=(x^2+x+1)(x^2-x+1)\)
（\(2\)） \(4a^4-13a^2b^2+b^4\)
\(=(2a^2-b^2)^2-(3ab)^2\)
\(=(2a^2+3ab-b^2)(2a^2-3ab-b^2)\)
複2次式の因数分解（解説）
（\(1\)）
冒頭で紹介した因数分解とほとんど見た目が変わりませんので、ひとまず \(x^2=X\) としてみましょう。
そうすると、
$$x^4+x^2+1=X^2+X+1$$
となります。ここで因数分解できれば解決なのですが、おわかりのように、係数が実数の範囲では因数分解できません。この場合どうするかですが、考え方を逆にしてみると、置き換えて因数分解するという思考は、「因数分解しやすいように置き換えを使っている」ということですね。
たしかに置き換えを使えば、見た目を因数分解できそうな形に近づけることができているので、この考え自体は間違っていないのです。しかし今、置き換えだけでは因数分解ができそうにありません。
「こうなっていたら因数分解できるのになぁ」
という思考で見てみましょう。
$$X^2+X+1$$
という式が、例えば \(X^2+\) \(2\) \(X+1\)
となっていれば、つまり \(X\) があともう一つあれば、 \((X+1)^2\) のように因数分解できそうですね。
※結果的に今回はこの補い方がうまくいくので、このやり方を紹介していますが、実際は \((x+a)^2\) の公式での因数分解になるような補い方がうまくいくとは限りませんので、他の公式での因数分解も想定しながら、試行錯誤を繰り返しましょう。
さて、因数分解はできましたが、これでは当初の問題とは違うものになってしまっています。 \(X\) を \(1\) つ足して因数分解したので、 \(1\) つ引いてつじつまを合わせましょう。
\begin{eqnarray} X^2+X+1 &=& X^2+2X+1-X\\ &=& (X+1)^2-X \end{eqnarray}となりますね。因数分解は一度行ったので、「因数分解しなさい」という問題の趣旨には適してそうな気がします。なので、ここで一度 \(X\) をもとに戻してみて、そのまま答えにしようとしてみます。すると、
$$(X+1)^2-X=(x^2+1)^2-x^2$$
となりますが、ここで「 \(2\) 乗 \(-2\) 乗」の形になっているのが見えますでしょうか？
つまり、まだ因数分解が可能なのです。
\((x^2+1)^2\) \(-\) \(x^2\)
\(=(\) \(x^2+1\) \(+\) \(x\) \()(\) \(x^2+1\) \(-\) \(x\) \()\)
ここからは、純粋にかっこの中を降べきの順に並べ替えて、
$$(x^2+x+1)(x^2-x+1)$$
となります。
置き換えを使う因数分解のコツ
① まずは置き換えられそうな部分を置き換えて、式を簡単にしてみる
② 因数分解できる形に無理やり式を変え、もとの式に戻るように数や文字を補う
③ できる部分を因数分解し、置き換えた文字をもとに戻す
④ さらに因数分解を行う
※慣れてくると、置き換える作業がなくても、因数分解できるようになってきます。
次の（\(2\)）では、置き換えをしないパターンで解説を書いていきます。
「因数分解しなさい」という問題というのは、最終的に因数のかけ算で表されていることが条件なので、
\((X+1)^2\) \(-\) \(X\)
などのように、かっこ内にはないマイナスが式の中にある状態は、因数分解したとは言えません。なので、今回の問題では、 \(X\) を戻したら偶然因数分解の続きができるという形で書きましたが、本来最後の
\((x^2+x+1)(x^2-x+1)\)
という因数分解の思考に辿り着かなければ、正答にはなりません。
つまり、この偶然を必然にするためのテクニックが必要なのですが、それは、途中で数や文字を補って因数分解をした際に、 \(2\) 乗の形で表されるものを補うということです。今回は \(X\) を補っていますが、それは置き換える前であれば \(x^2\) を補っているということですね。
他にも例えば、
\(4x^2\) 、 \(16x^2\) 、 \(9x^4\)
など、様々な平方数があります。これらを足すように補って途中の因数分解を行うことで、最終的にうまくいくケースが多いです。
また、こういった問題では、大抵途中で因数分解をする際、真ん中の項をいじる場合が多いので、併せて覚えておきましょう。
（\(2\)）
式の中に \(4a^4\) と \(b^4\) という平方数が入っているので、次のような因数分解の選択肢を思い浮かべるといいかもしれません。
① \((x+y)^2\)
② \((x-y)^2\)
今回の問題に当てはめてみると、
① \((2a^2+b^2)^2\)
② \((2a^2-b^2)^2\)
となるわけですが、それぞれ展開すると、
① \((2a^2+b^2)^2=4a^4+4a^2b^2+b^4\)
② \((2a^2-b^2)^2=4a^4-4a^2b^2+b^4\)
のようになのため、つじつまを合わせる必要があります。
①の場合、 \(4a^4+4a^2b^2+b^4\) となっていれば先程の因数分解ができるのですが、本来は \(4a^4-13a^2b^2+b^4\) ですね。
つまり、
\(4a^4+4a^2b^2+b^4\) \(-17a^2b^2\)
のように式変形をすれば、手前の部分が因数分解可能になります。
よって、
$$4a^4+4a^2b^2+b^4-17a^2b^2=(2a^2+b^2)^2-17a^2b^2$$
となるわけですが、このままでは、（\(1\)）で述べたように、因数分解しているとは言えないわけです。
そこで、②のパターンを試してみましょう。
②の場合、 \(4a^4-4a^2b^2+b^4\) となっていれば先程の因数分解ができるのですが、本来は \(4a^4-13a^2b^2+b^4\) なので、
\(4a^4-4a^2b^2+b^4\) \(-9a^2b^2\)
のように式変形をすれば、手前の部分が因数分解可能になります。
よって、
$$4a^4-4a^2b^2+b^4-9a^2b^2=(2a^2-b^2)^2-9a^2b^2$$
となるわけです。ここで \(9a^2b^2\) は平方数になっていますね。つまり、
\((2a^2-b^2)^2\) \(-\) \((3ab)^2\)
\(=(\) \(2a^2-b^2\) \(+\) \(3ab\) \()(\) \(2a^2-b^2\) \(-\) \(3ab\) \()\)
ここからは、かっこの中を \(a\) に関して降べきの順に並べ替えて、
$$(2a^2+3ab-b^2)(2a^2-3ab-b^2)$$
おわりに
さいごまで読んでいただきありがとうございました！
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