【図形と方程式】『内分点・外分点』証明と例題

定義

線分 $AB$ を $m:n$ に内分する点 $P$
　→ $AP:PB=m:n$ を満たす点で線分 $AB$ の内側にあるもの

線分 $AB$ を $m:n$ に外分する点 $Q$
　→$AQ:QB=m:n$ を満たす点で線分 $AB$ の外側にあるもの

座標

$A(x_a$,　$y_a)$,　$B(x_b$,　$y_b)$ のとき

線分 $AB$ を $m:n$ に内分する点 $P$ の座標は、

　$P({\displaystyle \frac{n{x}_a+m{x}_b}{m+n}}$,　${\displaystyle \frac{n{y}_a+m{y}_b}{m+n})}$

線分 $AB$ を $m:n$ に外分する点 $Q$ の座標は、

　$Q({\displaystyle \frac{-n{x}_a+m{x}_b}{m-n}}$,　${\displaystyle \frac{-n{y}_a+m{y}_b}{m-n})}$

ベクトル

$A$ の位置ベクトルを $\overrightarrow{a}$,　$B$ の位置ベクトルを $\overrightarrow{b}$ とするとき、

線分 $AB$ を $m:n$ に内分する点 $P$ の位置ベクトルは、

　$P({\displaystyle \frac{n\overrightarrow{a}+m\overrightarrow{b}}{m+n}}$,　${\displaystyle \frac{n\overrightarrow{a}+m\overrightarrow{b}}{m+n})}$

線分 $AB$ を $m:n$ に外分する点 $Q$ の位置ベクトルは、

　$Q({\displaystyle \frac{-n\overrightarrow{a}+m\overrightarrow{b}}{m-n}}$,　${\displaystyle \frac{-n\overrightarrow{a}+m\overrightarrow{b}}{m-n})}$

内分点

　$\overrightarrow{AP}={\displaystyle \frac{m}{m+n}\overrightarrow{AB}}$

　$\overrightarrow{p}-\overrightarrow{a}={\displaystyle \frac{m}{m+n}(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a})}$

$=\overrightarrow{a}+{\displaystyle \frac{m}{m+n}(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a})}$

$={\displaystyle \frac{(m+n)\overrightarrow{a}}{m+n}+{\displaystyle \frac{m}{m+n}\overrightarrow{b}-{\displaystyle \frac{m}{m+n}\overrightarrow{a}}}}$

整理すると、$\overrightarrow{p}={\displaystyle \frac{n\overrightarrow{a}+m\overrightarrow{b}}{m+n}}$

外分点

$m>n$ のときを証明します。$m<n$ のときも同様にできます。

　$\overrightarrow{AQ}={\displaystyle \frac{m}{m-n}\overrightarrow{AB}}$

　$\overrightarrow{q}-\overrightarrow{a}={\displaystyle \frac{m}{m-n}(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a})}$

$=\overrightarrow{a}+{\displaystyle \frac{m}{m-n}(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a})}$

$={\displaystyle \frac{(m-n)\overrightarrow{a}}{m-n}+{\displaystyle \frac{m}{m-n}\overrightarrow{b}-{\displaystyle \frac{m}{m-n}\overrightarrow{a}}}}$

整理すると、$\overrightarrow{q}={\displaystyle \frac{-n\overrightarrow{a}+m\overrightarrow{b}}{m-n}}$

定義

　線分 $AB$ を $m:n$ に内分する点 $P$
→ $AP:PB=m:n$ を満たす点で線分 $AB$ の内側にあるもの

　線分 $AB$ を $m:n$ に外分する点 $Q$
→$AQ:QB=m:n$ を満たす点で線分 $AB$ の外側にあるもの