【図形の性質】メネラウスの定理とその覚え方

メネラウスの定理の覚え方

覚え方 ① 図の頂点の流れで覚える。
覚え方 ② 定理の日本語をセットで覚える
　※片方だけでなく両方を意識して覚えると良いです。①だけ覚えてる方が多いですが、それだけだと形が少し変わっただけで対応できなくなるので両方覚えておくのがおすすめです。

メネラウスの定理の証明

　下の図のように、直線 $ell$ が $triangleABC$ の辺 $BC$,　$CA$,　$AB$ またはその延長と点 $D$,　$E$,　$F$ で交わるとする。
　頂点 $A$,　$B$,　$C$ から直線 $\ell$ に垂線 $AL$,　$BM$,　$CN$ を引く。

線分 $BM$,　$AL$,　$CN$ は平行より

$\mathrm{△}AFL\sim \mathrm{△}BFM$$\cdots$ ①
$\mathrm{△}MBD\sim \mathrm{△}NCD$$\cdots$ ②
$\mathrm{△}ALE\sim \mathrm{△}CNE$$\cdots$ ③
　※ 「$\sim$」は相似記号

①より　$AF:BF==AL:BM$
　$AF\cdot BM=BF\cdot AL$

　$${\displaystyle \frac{AF}{BF}=\frac{AL}{BM}\cdots \mathrm{④}}$$

②より　$BD:CD=BM:CN$
　$CD\cdot BM=BD\cdot CN$

　$${\displaystyle \frac{BD}{CD}=\frac{BM}{CN}\cdots \mathrm{⑤}}$$

③より　$CE:AE=CN:AL$
　$CE\cdot AL=AE\cdot CN$

　$${\displaystyle \frac{CE}{AE}=\frac{CN}{AL}\cdots \mathrm{⑥}}$$

④,　⑤,　⑥ の辺々をかけると、

　${\displaystyle \frac{AF}{BF}\cdot \frac{BD}{CD}\cdot \frac{CE}{AE}}$
$={\displaystyle \frac{AL}{BM}\cdot \frac{BM}{CN}\cdot \frac{CN}{AL}=1}$

よって、

　$${\displaystyle \frac{AF}{FB}\cdot \frac{BD}{DC}\cdot \frac{CE}{EA}=1}$$

メネラウスの定理の問題

三角形 $ABC$ において、辺 $AB$ 上と辺 $AC$ の延長上にそれぞれ点 $E$,　$F$ をとり、$AE:EB=1:2$,　$AF:FC=3:1$ とする。直線 $EF$ と直線 $BC$ との交点を $D$ とするとき、$BD:DC$,　$ED:DF$ をそれぞれ求めよ。

（解説）

$\mathrm{△}ABC$ と直線 $EF$ について

${\displaystyle \frac{BE}{EA}\cdot \frac{AF}{FC}\cdot \frac{CD}{DB}=1}$ より

${\displaystyle \frac{2}{1}\cdot \frac{3}{1}\cdot \frac{CD}{DB}=1}$

$2\cdot 3\cdot \frac{CD}{DB}=1$

${\displaystyle \frac{CD}{DB}=\frac{1}{6}}$

よって、$BD:DC=6:1$

次に、$\mathrm{△}AEF$ と直線 $BC$ について

${\displaystyle \frac{FC}{CA}\cdot \frac{AB}{BE}\cdot \frac{ED}{DF}=1}$

${\displaystyle \frac{1}{2}\cdot \frac{3}{2}\cdot \frac{ED}{DF}=1}$

${\displaystyle \frac{3}{4}\cdot \frac{ED}{DF}=1}$

${\displaystyle \frac{ED}{DF}=\frac{4}{3}}$

よって、$ED:DF=4:3$

おわりに