方べきの定理
\(PA\times PB=PC\times PD\)
\(PA\times PB=PC\times PD\)
\(PA\times PB=PC^2\)
方べきの定理タイプ1とその証明
方べきの定理タイプ1
円周上に点 \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) がある。\(AB\) と \(CD\) が円の内部の点 \(P\) で交わるとき、
\(PA\times PB=PC\times PD\)
方べきの定理タイプ1の証明
円周角の定理より、
\(\angle{PAC}=\angle{PDB}\)
\(\angle{PCA}=\angle{PBD}\)
よって、\(2\) 組の角がそれぞれ等しいので、三角形 \(PAC\) と \(PDB\) は相似。
したがって、\(PA:PD=PC:PB\)
\(PA\times PB=PC\times PD\)
となり、方べきの定理が成立する。
方べきの定理タイプ2とその証明
方べきの定理タイプ2
円周上に点 \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) がある。\(AB\) と \(CD\) が円の外部の点 \(P\) で交わるとき、
\(PA\times PB=PC\times PD\)
方べきの定理タイプ2の証明
円に内接する四角形の性質より
\(\angle{PAC}=\angle{PDB}\)
\(\angle{PCA}=\angle{PBD}\)
よって、\(2\) 組の角がそれぞれ等しいので、三角形 \(PAC\) と \(PDB\) は相似。
したがって、\(PA:PD=PC:PB\)
\(PA\times PB=PC\times PD\)
となり、方べきの定理が成立する。
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方べきの定理タイプ3とその証明
方べきの定理タイプ3
円周上に点 \(A\), \(B\), \(C\) がある。直線 \(AB\) と \(C\) における接線が \(P\) で交わるとき、
\(PA\times PB=PC^{2}\)
方べきの定理タイプ3の証明
接弦定理より、
\(\angle{PCA}=\angle{PBC}\)
また、\(\angle{P}\) は共通。
よって、\(2\) 組の角がそれぞれ等しいので、三角形 \(PAC\) と \(PCB\) は相似。
したがって、 \(PA:PC=PC:PB\)
\(PA\times PB=PC\times PC\)
となり、方べきの定理が成立する。
方べきの定理の覚え方
\(PA\times PB=PC\times PD\)
\(PA\times PB=PC\times PD\)
\(PA\times PB=PC^2\)
この \(3\)つ の公式、似ていると感じる人もいるでしょう。
証明をするにあたって、三角形の相似を使用しましたが、そのために使用した道具は「円周角の定理」「内接四角形の性質」「接弦定理」と異なりました。
しかし、座標を用いることで3タイプを同時に証明することができます。
座標を用いた方べきの定理の証明
（方針）
円 \(C\) ：\(x^2+y^2=r^2\), 点 \(P(p\), \(9)\) とします。点 \(P\) を通る直線 \(l\) は傾き \(k\) を用いて、\(y=k(x-p)\) と書け、このとき \(l\) と \(C\) の交点を \(A\), \(B\) をおきます（交点が \(1\) つのときは \(A=B\) 。
\(PA\times PB\) が \(k\) によらないことを示せば良いです。\(k\) による場合、もう \(1\) 本引いたときの \(PC\times PD\) の値が変わり、\(PA\times PB=PC\times PD\) となりません。
（証明）
\(l\) と \(C\) の方程式から \(y\) を消去すると、
\(x^2(1+k^2)-2k^2px+k^2p^2-r^2=0\)
\(A\), \(B\) の \(x\) 座標を \(\alpha\), \(\beta\) とおくと、
解と係数の関係より
\(\alpha+\beta=\displaystyle\frac{2k^2p}{1+k^2}\)
\(\alpha\beta=\displaystyle\frac{k^2p^2-r^2}{a+k^2}\)
また、上図のように \(l\) と \(x\) 軸がなす角を \(\theta\) とおくと、
\(PA=\displaystyle\frac{|p-\alpha|}{\cos\theta}\)
\(PB=\displaystyle\frac{|p-\beta|}{\cos\theta}\)
より、
\(PA\times PB\)
\(=\displaystyle\frac{|(p-\alpha)(p-\beta)|}{cos^2\theta}\)
\(=(1+tan^2\theta)|p^2-(\alpha+\beta)p+\alpha\beta|\)
\(=(1+k^2)|p^2-\displaystyle\frac{2k^2p^2}{1+k^2}+\frac{k^2p^2-r^2}{a+k^2}|\)
\(=|p^2-r^2|\)
となり傾き \(k\) によらない。
方べきの定理の問題
図で \(x\) の値を求めよ。
(1)
(2)
（解説）
(1) 方べきの定理タイプ 2 より
\(5\times (5+x)=6 \times (6+3)\)
\(25+5x=54\)
\(5x=29\)
\(x=\displaystyle\frac{29}{5}\)
(2) 方べきの定理タイプ 1 より
\(6\times 5=4\times x\)
\(30=4x\)
\(x=\displaystyle\frac{15}{2}\)
おわりに
さいごまで読んでいただきありがとうございました！
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