【場合の数】『和の法則と積の法則』 例題と解説

和の法則と積の法則　見分け方

今回は和の法則と積の法則についてです！

似てる法則ですが、しっかりと区別させられるようになりましょう。

和の法則と積の法則（問題）

(1) 大小 \(2\) 個のさいころを投げるとき、出る目の和が \(5\) の倍数になる場合は何通りあるか。
(2) \((a+b+c)(p+q+r)(x+y)\) を展開すると、異なる項は何個できるか。

解説

(1)

目の和が \(5\) の倍数になるのは、目の和が \(5\) または \(10\) のときである。

[1] 目の和が \(5\) となるのは

　\(1+4\),　\(2+3\),　\(3+2\),　\(4+1\) より
　\(4\) 通り

[2] 目の和が \(10\) となるのは

　\(4+6\),　\(5+5\),　\(6+4\) より
　\(3\) 通り

[1],　[2] の場合は同時には起こらないから、求める場合の数は、和の法則により

　\(4+3=7\) （通り）

[1] または [2] と言うことができ、同時に起こり得ないので、和の法則を用いる。

(2)

\((a+b+c)(p+q+r)(x+y)\) を展開してできる項は、

\((a, b, c)\),　\((p, q, r)\),　\((x, y)\)

から、それぞれ \(1\) つずつ取り出して掛けて作られる。

よって、異なる項の個数は、積の法則により

　\(3\times 3\times 2=18\)（個）

展開してできる項の \(1\) である \(apx\) は、\(a\),　\(b\),　\(c\) から \(1\) つ選ばれ、かつ、\(p\),　\(q\)　\(r\) から \(1\) つ選ばれ、かつ、\(x\),　\(y\) から \(1\) つ選ばれた項のため、積の法則を用いる。

おわりに

「和の法則」と「積の法則」という言葉は覚える必要はありません。理解できればOKです。

しかし、\(2\) つの法則を混同する人が多いのでご注意ください。