【場合の数】$5$ の倍数の個数と $8$ の倍数の個数

倍数の個数

倍数の個数を求める問題では、ある整数 $n$ に対して、その倍数がどれだけ存在するかを数えることが求められます。具体的には、範囲を決めて、その範囲内で特定の数の倍数が何個存在するかを求める問題が一般的です。

まずは例題から一般的な解き方を考えていきましょう。

例題：整数 $10$ から $50$ までの範囲内にある $7$ の倍数の個数を求めなさい。

倍数の個数（問題）

$100$ から $200$ までの整数のうち、次の整数の個数を求めよ。

(1)　$5$ かつ $8$ の倍数
(2)　$5$ または $8$ の倍数
(3)　$5$ で割り切れるが $8$ で割り切れない整数
(4)　$5$ と $8$ の少なくとも一方で割り切れない整数

倍数の個数（解説）

$5$ の倍数の個数の事象：$A$
$8$ の倍数の個数の事象：$B$ とおく。

$5$ の倍数は、$5\times 20=100$ 〜 $5\times 40=200$ より

　$40-20+1=21$ 個

$8$ の倍数は、$8\times 13=104$ 〜 $8\times 25=200$ より

　$25-13+1=13$ 個

(1)　$5$ かつ $8$ の倍数

$5$ と $8$ の公倍数は $40$。

$40\times 3=120$ 〜 $40\times 5=200$

よって、 $5-3+1=3$

したがって、$n(A\cap B)=3$

(2)　$5$ または $8$ の倍数

$5$ または $8$ の倍数全体の集合は $A\cup B$ であるから

$$\begin{array}{rcl}n(A\cup B)& =& n(A)+n(B)-n(A\cap B)\\ & =& 21+13-3=31\end{array}$$

(3)　$5$ で割り切れるが $8$ で割り切れない整数

$5$ で割り切れるが $8$ で割り切れない整数全体の集合は $A\cap \overline{B}$ であるから

$$\begin{array}{rcl}n(A\cap \overline{B})& =& n(A)-n(A\cap B)\\ & =& 21-3=18\end{array}$$

(4)　$5$ と $8$ の少なくとも一方で割り切れない整数

$5$ と $8$ の少なくとも一方で割り切れない整数全体の集合は $\overline{A}\cup \overline{B}$ であるから

$$\begin{array}{rcl}n(\overline{A}\cup \overline{B})& =& n(\overline{A\cap B})\\ & =& n(U)-n(A\cap B)\\ & =& (200-100+1)-3=96\end{array}$$

おわりに