組分けの場合の数
例）「\(5\) 人を赤組と白組に分ける」
のように複数人を重複を許して \(2\) つの組に割り振るなんて場面は少なくありません。
このように、同じものを許した並びを重複順列(ちょうふくじゅんれつ)と呼びます。
上の例だと、
\(1\) 人目←赤 or 白
\(2\) 人目←赤 or 白
\(3\) 人目←赤 or 白
\(4\) 人目←赤 or 白
\(5\) 人目←赤 or 白
のように割り振っていくため、\(2^5=32\) (通り)となります。
〈注意〉
この計算方法だと、
「赤チームが \(0\) 人、白シート \(5\) 人」
「赤チームが \(5\) 人、白チーム \(0\) 人」
が含まれている点に注意が必要です。
一般化するとこうなります。
〈重複順列〉
異なる \(n\) 個のものから、重複を許して、\(r\) 個を取り出して並べる順列の総数は、\(n^r\)
組分けの場合の数（問題）
\(6\) 枚のカード \(1\), \(2\), \(3\), \(4\), \(5\), \(6\) がある。
(1) \(6\) 枚のカードを組 \(A\) と組 \(B\) に分ける方法は何通りあるか。ただし、各組に少なくとも \(1\) 枚は入るものとする。
(2) \(6\) 枚のカードを \(2\) 組に分ける方法は何通りあるか。
(3) \(6\) 枚のカードを同じ大きさの \(3\) 個の箱に分けるとき、カード \(1\), \(2\) を別の箱に入れる方法は何通りあるか。ただし、空の箱はないものとする。
＞＞詳細はこちらから
解説
(1) \(6\) 枚のカードを、\(A\), \(B\) \(2\) つの組のどちらかに入れる方法は
$$2^6=64 (通り)$$
〈重複順列〉
異なる \(n\) 個のものから、重複を許して、\(r\) 個を取り出して並べる順列の総数は、\(n^r\)
ここで終わると、\(0\) 枚の組が存在してしまいます…
このうち、\(A\), \(B\) の一方だけに入れる方法は \(2\) 通り
ゆえに、組 \(A\) と組 \(B\) に分ける方法は
$$64-2=62 (通り)$$
(2) (1) \(A\), \(B\) の区別をなくして
$$62\div 2=31 (通り)$$
例）「\(A\) に \(1,2,3,4\)、\(B\) に \(5,6\)」と「\(A\) に \(5,6\)、\(B\)に \(1,2,3,4\)」が同じ扱いになります。
(3) カード \(1\), カード \(2\) が入る箱を、それぞれ \(A\), \(B\) とし、残りの箱を \(C\) とする。
今回は便宜上 \(A\) と \(B\) としていますが、箱に区別はないので他の箱としても構いません！
\(A\), \(B\), \(C\) の \(3\) 個の箱のどれかにカード \(3\), \(4\), \(5\), \(6\) を入れる方法は
$$3^4 通り$$
これだけだと、\(C\) になにも割り当てられないパターンが存在してしまいますね。
このうち、\(C\) には \(1\) 枚も入れない方法は
$$2^4 通り$$
したがって
$$3^4-2^4=81-16=65 (通り)$$
おわりに
さいごまで読んでいただきありがとうございました！
【最新】こちらの記事がおすすめ！