【場合の数】『重複順列』組分けの問題

組分けの場合の数

例）「$5$ 人を赤組と白組に分ける」

のように複数人を重複を許して $2$ つの組に割り振るなんて場面は少なくありません。

このように、同じものを許した並びを重複順列(ちょうふくじゅんれつ)と呼びます。

上の例だと、

$1$ 人目←赤 or 白
$2$ 人目←赤 or 白
$3$ 人目←赤 or 白
$4$ 人目←赤 or 白
$5$ 人目←赤 or 白

のように割り振っていくため、$2^5=32$ (通り)となります。

一般化するとこうなります。

組分けの場合の数（問題）

$6$ 枚のカード $1$,　$2$,　$3$,　$4$,　$5$,　$6$ がある。

(1)　$6$ 枚のカードを組 $A$ と組 $B$ に分ける方法は何通りあるか。ただし、各組に少なくとも $1$ 枚は入るものとする。
(2)　$6$ 枚のカードを $2$ 組に分ける方法は何通りあるか。
(3)　$6$ 枚のカードを同じ大きさの $3$ 個の箱に分けるとき、カード $1$,　$2$ を別の箱に入れる方法は何通りあるか。ただし、空の箱はないものとする。

解説

(1)　$6$ 枚のカードを、$A$,　$B$ $2$ つの組のどちらかに入れる方法は

　$$2^6=64(\mathrm{通}\mathrm{り})$$

このうち、$A$,　$B$ の一方だけに入れる方法は $2$ 通り

ゆえに、組 $A$ と組 $B$ に分ける方法は

$$64-2=62(\mathrm{通}\mathrm{り})$$

(2)　(1) $A$,　$B$ の区別をなくして

$$62÷2=31(\mathrm{通}\mathrm{り})$$

例）「$A$ に $1,2,3,4$、$B$ に $5,6$」と「$A$ に $5,6$、$B$に $1,2,3,4$」が同じ扱いになります。

(3)　カード $1$,　カード $2$ が入る箱を、それぞれ $A$,　$B$ とし、残りの箱を $C$ とする。

$A$,　$B$,　$C$ の $3$ 個の箱のどれかにカード $3$,　$4$,　$5$,　$6$ を入れる方法は

$$3^4\mathrm{通}\mathrm{り}$$

このうち、$C$ には $1$ 枚も入れない方法は

$$2^4\mathrm{通}\mathrm{り}$$

したがって

$$3^4-2^4=81-16=65(\mathrm{通}\mathrm{り})$$

おわりに