【場合の数】重複順列と重複組合せの違い

重複順列と重複組合せの違い

順列と組合せ

順列と組合せの違い
取り出したあと、「並べる」か「並べない」かで判別します。「並べる」場合は順列、「並べない」場合は組合せとなります。

重複順列と重複組合せ

▼重複順列
異なる \(n\) 個のものから、重複を許して \(r\) 個を取り出して並べる順列の総数は、
第 \(1\),　第 \(2\),　\(\cdots\) 第 \(r\) それぞれの選び方はすべて \(n\) 通りで、
　\(n\times n\times n\times\cdots\times n=n^r\)
である。

例題）

\(1\) と \(2\) の数字を重複を許して、\(5\) 個を取り出して並べる。

　\(2\times 2\times 2\times 2\times 2=32\)

▼重複組合せ
異なる \(n\) 個のものから、重複を許して \(r\) 個取る組合せ（重複組合せ）の総数は、
　\({}_nH_r={}_{n+r-1}C_r\)

例題）

柿、りんご、みかんの \(3\) 種類の果物が店頭にたくさんある。\(5\) 個の果物を買うとき、何通りの買い方があるか。ただし、含まれない果物があってもよいものとする。

\(3\) 種類の果物 \(5\) 個の買い方を表すために、\(5\) つの ◯ と\(2\) つの仕切り( | )で表します。

よって、求める場合の数は、
　\({}_{5+3-1}C_5={}_7C_5={}_7C_2=21\)

重複順列と重複組合せ

重複順列と重複組合せは、異なる組み合わせの方法です。

重複順列は、順序を考慮して要素を選ぶ方法で、同じ要素を複数回選ぶことが可能です。例えば、3つの要素から2つ選ぶ場合、順序が異なれば別の組み合わせとして扱います。
一方、重複組合せは、順序を考慮せずに要素を選ぶ方法で、同じ要素を複数回選ぶことができます。

おわりに