【場合の数】重複順列と重複組合せの違い

重複順列と重複組合せの違い

順列と組合せ

順列と組合せの違い
取り出したあと、「並べる」か「並べない」かで判別します。「並べる」場合は順列、「並べない」場合は組合せとなります。

重複順列と重複組合せ

▼重複順列
異なる $n$ 個のものから、重複を許して $r$ 個を取り出して並べる順列の総数は、
第 $1$,　第 $2$,　$\cdots$ 第 $r$ それぞれの選び方はすべて $n$ 通りで、
　$n\times n\times n\times \cdots \times n=n^r$
である。

例題）

$1$ と $2$ の数字を重複を許して、$5$ 個を取り出して並べる。

　$2\times 2\times 2\times 2\times 2=32$

▼重複組合せ
異なる $n$ 個のものから、重複を許して $r$ 個取る組合せ（重複組合せ）の総数は、
　${}_n{H}_r={}_{n+r-1}{C}_r$

例題）

柿、りんご、みかんの $3$ 種類の果物が店頭にたくさんある。$5$ 個の果物を買うとき、何通りの買い方があるか。ただし、含まれない果物があってもよいものとする。

$3$ 種類の果物 $5$ 個の買い方を表すために、$5$ つの ◯ と$2$ つの仕切り( | )で表します。

よって、求める場合の数は、
　${}_{5+3-1}{C}_5={}_7{C}_5={}_7{C}_2=21$

重複順列と重複組合せ

重複順列と重複組合せは、異なる組み合わせの方法です。

重複順列は、順序を考慮して要素を選ぶ方法で、同じ要素を複数回選ぶことが可能です。例えば、3つの要素から2つ選ぶ場合、順序が異なれば別の組み合わせとして扱います。
一方、重複組合せは、順序を考慮せずに要素を選ぶ方法で、同じ要素を複数回選ぶことができます。

おわりに