重複順列と重複組合せの違い
順列と組合せ
順列
異なる \(n\) 個の中から異なる \(r\) 個を取り出して \(1\) 列に並べる順列の総数は、
組合せ
異なる \(n\) 個の中から異なる \(r\) 個を取り出す組合せの総数は、
\({}_nC_r=\displaystyle\frac{{}_nP_r}{r!}\)
順列と組合せの違い
取り出したあと、「並べる」か「並べない」かで判別します。「並べる」場合は順列、「並べない」場合は組合せとなります。
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重複順列と重複組合せ
▼重複順列
異なる \(n\) 個のものから、重複を許して \(r\) 個を取り出して並べる順列の総数は、
第 \(1\), 第 \(2\), \(\cdots\) 第 \(r\) それぞれの選び方はすべて \(n\) 通りで、
\(n\times n\times n\times\cdots\times n=n^r\)
である。
例題）
\(2\times 2\times 2\times 2\times 2=32\)
▼重複組合せ
異なる \(n\) 個のものから、重複を許して \(r\) 個取る組合せ（重複組合せ）の総数は、
\({}_nH_r={}_{n+r-1}C_r\)
例題）
\(3\) 種類の果物 \(5\) 個の買い方を表すために、\(5\) つの ◯ と\(2\) つの仕切り( | )で表します。
例えば、
◯ ◯ | ◯ | ◯ ◯ なら、柿 \(2\) つ、りんご \(1\) つ、みかん \(2\) つ
| | ◯ ◯ ◯ ◯ ◯ なら、柿 \(0\) つ、りんご \(0\) つ、みかん \(5\) つ
を表しています。
よって、求める場合の数は、
\({}_{5+3-1}C_5={}_7C_5={}_7C_2=21\)
なぜ、急に「◯」と「｜」が現れたのか混乱した人もいるかもしれません。
これは別の見方で場合の数を数えようとしているのです。
例えば、「あるクラスの人数を知りたい」とします。実際にクラスのメンバーを数えてもいいですが、「下駄箱」や「使用されてるロッカー」を数えても同じものが求められます。このように、求めたいものを直接数えるのではなく、別の捉え方をする解法は他にもさまざまあります。
今回は、区切りと区切りの間の「◯」を各果物に見立ててます。
柿の個数｜りんごの個数｜みかんの個数
のように考えます。
この並び方が今回の場合の数を求めることになるのです。
重複順列と重複組合せ
重複順列と重複組合せは、異なる組み合わせの方法です。
重複順列は、順序を考慮して要素を選ぶ方法で、同じ要素を複数回選ぶことが可能です。例えば、3つの要素から2つ選ぶ場合、順序が異なれば別の組み合わせとして扱います。
一方、重複組合せは、順序を考慮せずに要素を選ぶ方法で、同じ要素を複数回選ぶことができます。
通常の順列と組合せの違いと同じように考えてよさそうですね！
おわりに
さいごまで読んでいただきありがとうございました！
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