【対数関数】対数関数とそのグラフ

このページでは、「対数関数（log）のグラフ」について解説します。

対数関数のグラフの形や性質、書き方について丁寧に解説しています。

対数関数のグラフと性質

対数関数のグラフの形と性質まとめ

対数関数 \(y=\log_a x\) のグラフの形は、底の値によって異なり、\(2\) パターンに分けられます。

\(y=\log_2 x\) を例にグラフを描いてみます。

指数関数と対数関数

対数関数 \(y=\log_a x\) のグラフは、指数関数 \(y=a^x\) のグラフと \(y=x\) に関して対称になります。

対数関数のグラフの書き方

対数関数のグラフの書き方は、次の手順でかいていきます。

この手順で、\(y=\log_3 x\) のグラフをかいてみましょう。

STEP ①

まずは点 \((1\),　\(0)\) に点を打ちます。

STEP ②

\(y=\log_3 x\) の底は \(3\) で、\(x=3\) のとき \(y=1\) となるので、点 \((3\),　\(1)\) を通ります。この点を打ちます。

STEP ③

さいごに、\(y\) 軸を漸近線として、①・②の \(2\) 点を通るなめらかな曲線をかきます。このかき方の要領は、\(2\) 次関数のグラフと同じです。

対数関数のグラフの平行移動・対称移動

対数関数のグラフの平行移動・対称移動まとめ

\(y=\log_a x\) のグラフの平行移動・対称移動は次のようになります。

\(y=\log_a x\) のグラフの平行移動・対称移動

・\(x\) 軸方向に \(p\),　\(y\) 軸方向に \(q\) だけ平行移動
　→\(y=\log_a (x-p)+q\)
・\(x\) 軸に関して対称移動
　→\(y=-\log_a x=\log_{\frac{1}{2}} x\)
・\(y\) 軸に関して対称移動
　→\(y=\log_a (-x)\)
・原点に関して対称移動
　→\(y=-\log_a (-x)=\log_{\frac{1}{a}} (-x)\)

考え方は \(y=f(x)\) のグラフの平行移動・対称移動と同様です。

対数関数のグラフの平行移動・対称移動の問題

解答

(1)　\(y=\log_2 (x+1)=\log_2{x-(-1)}\)

したがって、\(y=\log_2 (x+1)\) のグラフ（赤線）は、

\(y=\log_2 x\) のグラフ（点線）を \(x\) 軸方向に \(-1\) だけ平行移動したもの。

(2)　底の変換公式を利用して、底を \(2\) にします。

\(y=\log_{\frac{1}{2}} x=\displaystyle\frac{\log_2 x}{\log_2 {\frac{1}{2}}}\)

　\(=\displaystyle\frac{\log_2 x}{\log_2 2^{-1}}\)

　\(=-\log_2 x\)

したがって、\(y=\log_{\frac{1}{2}} x\) のグラフは、

\(y=\log_2 x\) のグラフを \(x\) 軸に関して対称移動したもの。

(3)　\(2x-4=2(x-2)\) より、積の大数の性質を利用して、右辺を分解します。

\(y=\log_2 (2x-4)=\log_2 2(x-2)\)

　\(=\log_2 2+\log_2 (x-2)\)

　\(=\log_2 (x-2)+1\)

したがって、\(y=\log_2 (2x-4)\) のグラフは、

\(y=\log_2 x\) のグラフを \(x\) 軸方向に \(2\)、\(y\) 軸方向に \(1\) だけ平行移動したもの。

例）\(A=(2\),　\(1)\) が \(B=(4\),　\(2)\)

対数関数のグラフまとめ

今回は、対数関数のグラフの性質やかき方についてでした。

関数問題は正しいグラフをかくことがとても重要です。最初は時間をかけてでも丁寧にかいていきましょう。