対数関数のグラフと性質
対数関数 \(y=\log_a x\) のグラフや性質について解説していきます。
\(a\)：底
\(x\)：真数
対数関数のグラフの形と性質まとめ
対数関数 \(y=\log_a x\) のグラフの形は、底の値によって異なり、\(2\) パターンに分けられます。
\(y=\log_2 x\) を例にグラフを描いてみます。
\(a>1\)
底が \(1\) より大きい場合は、\(x\) の値が増加するにつれて、\(y\) はなめらかに増加していくようなグラフになります。
\(0<a<1\)
底が \(0\) と \(1\) の間のとき（分数のとき）、\(x\) の値が増加するにつれて、\(y\) はなめらかに減少していくようなグラフになります。
指数関数と対数関数
対数関数 \(y=\log_a x\) のグラフは、指数関数 \(y=a^x\) のグラフと \(y=x\) に関して対称になります。
\(y=\log_2 x\) のグラフを例に考えます。
対数の定義より
\(y=\log_2 x\) \(\longleftrightarrow\) \(x=2^y\)
ここで、\(x=2^y\) と指数関数 \(y=2^x\) は、\(x\) と \(y\) が入れ替わったものです。
よって、点 \(P\) \((a\), \(b)\) が \(y=2^x\) のグラフ上にあるとき、点 \(Q\) \((b\), \(a)\) は \(y=\log_2 x\) のグラフ上にあります。
\(2\) 点 \(P\), \(Q\) は直線 \(y=x\) に関して対称であるから、\(y=\log_2 x\) のグラフと \(y=2^x\) のグラフは直線 \(y=x\) に関して対称となります。
対数関数のグラフの書き方
対数関数のグラフの書き方は、次の手順でかいていきます。
対数関数 \(y=\log_a x\) のグラフをかく手順
STEP ① 点 \(1\), \(0)\) を打つ。
STEP ② 点 \((a\), \(1)\) を打つ。
STEP ③ \(y\) 軸をグラフの漸近線として、①・②の点を通る曲線をかく。
この手順で、\(y=\log_3 x\) のグラフをかいてみましょう。
STEP ①
まずは点 \((1\), \(0)\) に点を打ちます。
STEP ②
\(y=\log_3 x\) の底は \(3\) で、\(x=3\) のとき \(y=1\) となるので、点 \((3\), \(1)\) を通ります。この点を打ちます。
STEP ③
さいごに、\(y\) 軸を漸近線として、①・②の \(2\) 点を通るなめらかな曲線をかきます。このかき方の要領は、\(2\) 次関数のグラフと同じです。
対数関数のグラフの平行移動・対称移動
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対数関数のグラフの平行移動・対称移動まとめ
\(y=\log_a x\) のグラフの平行移動・対称移動は次のようになります。
\(y=\log_a x\) のグラフの平行移動・対称移動
・\(x\) 軸方向に \(p\), \(y\) 軸方向に \(q\) だけ平行移動
→\(y=\log_a (x-p)+q\)
・\(x\) 軸に関して対称移動
→\(y=-\log_a x=\log_{\frac{1}{2}} x\)
・\(y\) 軸に関して対称移動
→\(y=\log_a (-x)\)
・原点に関して対称移動
→\(y=-\log_a (-x)=\log_{\frac{1}{a}} (-x)\)
考え方は \(y=f(x)\) のグラフの平行移動・対称移動と同様です。
対数関数のグラフの平行移動・対称移動の問題
次の関数のグラフをかけ。また、関数 \(y=\log_2 x\) のグラフとの位置関係を述べよ。
(1) \(y=\log_2 (x+1)\)
(2) \(y=\log_{\frac{1}{2}} x\)
(3) \(y=\log_2 (2x-4)\)
解答
(1) \(y=\log_2 (x+1)=\log_2{x-(-1)}\)
したがって、\(y=\log_2 (x+1)\) のグラフ（赤線）は、
\(y=\log_2 x\) のグラフ（点線）を \(x\) 軸方向に \(-1\) だけ平行移動したもの。
(2) 底の変換公式を利用して、底を \(2\) にします。
\(y=\log_{\frac{1}{2}} x=\displaystyle\frac{\log_2 x}{\log_2 {\frac{1}{2}}}\)
\(=\displaystyle\frac{\log_2 x}{\log_2 2^{-1}}\)
\(=-\log_2 x\)
したがって、\(y=\log_{\frac{1}{2}} x\) のグラフは、
\(y=\log_2 x\) のグラフを \(x\) 軸に関して対称移動したもの。
(3) \(2x-4=2(x-2)\) より、積の大数の性質を利用して、右辺を分解します。
\(y=\log_2 (2x-4)=\log_2 2(x-2)\)
\(=\log_2 2+\log_2 (x-2)\)
\(=\log_2 (x-2)+1\)
したがって、\(y=\log_2 (2x-4)\) のグラフは、
\(y=\log_2 x\) のグラフを \(x\) 軸方向に \(2\)、\(y\) 軸方向に \(1\) だけ平行移動したもの。
例）\(A=(2\), \(1)\) が \(B=(4\), \(2)\)
対数関数のグラフまとめ
今回は、対数関数のグラフの性質やかき方についてでした。
関数問題は正しいグラフをかくことがとても重要です。最初は時間をかけてでも丁寧にかいていきましょう。
さいごまで読んでいただきありがとうございました！
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私自身、数学が得意になれたのはただ運が良かったんだと思っています。たまたま親が通塾させることに積極的だったり、友達が入るって理由でそろばんに入れたり、他の科目が壊滅的だったおかげで数学が(相対的に)得意だと勘違いできたり。
”たまたま”得意になれたこの恩を、今数学の学習に困っている人に還元できたらなと思っています。お金は取りません。できる限り(何百人から連絡が来たら難しいかもですが…)真摯に向き合おうと思っていますのでオアシスだと思ってご連絡ください。