【対数関数】グラフ

対数関数のグラフと性質

対数関数のグラフの形と性質まとめ

対数関数 $y={\log }_{a}x$ のグラフの形は、底の値によって異なり、$2$ パターンに分けられます。

$y={\log }_{2}x$ を例にグラフを描いてみます。

指数関数と対数関数

対数関数 $y={\log }_{a}x$ のグラフは、指数関数 $y=a^x$ のグラフと $y=x$ に関して対称になります。

対数関数のグラフの書き方

対数関数のグラフの書き方は、次の手順でかいていきます。

この手順で、$y={\log }_{3}x$ のグラフをかいてみましょう。

STEP ①

まずは点 $(1$,　$0)$ に点を打ちます。

STEP ②

$y={\log }_{3}x$ の底は $3$ で、$x=3$ のとき $y=1$ となるので、点 $(3$,　$1)$ を通ります。この点を打ちます。

STEP ③

さいごに、$y$ 軸を漸近線として、①・②の $2$ 点を通るなめらかな曲線をかきます。このかき方の要領は、$2$ 次関数のグラフと同じです。

対数関数のグラフの平行移動・対称移動

対数関数のグラフの平行移動・対称移動まとめ

$y={\log }_{a}x$ のグラフの平行移動・対称移動は次のようになります。

$y={\log }_{a}x$ のグラフの平行移動・対称移動

・$x$ 軸方向に $p$,　$y$ 軸方向に $q$ だけ平行移動
　→$y={\log }_a(x-p)+q$
・$x$ 軸に関して対称移動
　→$y=-{\log }_{a}x={\log }_{\frac{1}{2}}x$
・$y$ 軸に関して対称移動
　→$y={\log }_a(-x)$
・原点に関して対称移動
　→$y=-{\log }_a(-x)={\log }_{\frac{1}{a}}(-x)$

考え方は $y=f(x)$ のグラフの平行移動・対称移動と同様です。

対数関数のグラフの平行移動・対称移動の問題

解答

(1)　$y={\log }_2(x+1)={\log }_{2}x-(-1)$

したがって、$y={\log }_2(x+1)$ のグラフ（赤線）は、

$y={\log }_{2}x$ のグラフ（点線）を $x$ 軸方向に $-1$ だけ平行移動したもの。

(2)　底の変換公式を利用して、底を $2$ にします。

$y={\log }_{\frac{1}{2}}x={\displaystyle \frac{{\log }_{2}x}{{\log }_2\frac{1}{2}}}$

　$={\displaystyle \frac{{\log }_{2}x}{{\log }_2{2}^{-1}}}$

　$=-{\log }_{2}x$

したがって、$y={\log }_{\frac{1}{2}}x$ のグラフは、

$y={\log }_{2}x$ のグラフを $x$ 軸に関して対称移動したもの。

(3)　$2x-4=2(x-2)$ より、積の大数の性質を利用して、右辺を分解します。

$y={\log }_2(2x-4)={\log }_{2}2(x-2)$

　$={\log }_{2}2+{\log }_2(x-2)$

　$={\log }_2(x-2)+1$

したがって、$y={\log }_2(2x-4)$ のグラフは、

$y={\log }_{2}x$ のグラフを $x$ 軸方向に $2$、$y$ 軸方向に $1$ だけ平行移動したもの。

例）$A=(2$,　$1)$ が $B=(4$,　$2)$

対数関数のグラフまとめ

今回は、対数関数のグラフの性質やかき方についてでした。

関数問題は正しいグラフをかくことがとても重要です。最初は時間をかけてでも丁寧にかいていきましょう。