【対数関数】常用対数とは？例題と解説

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常用対数は、 $10$ を底とする対数として定義されています。

つまり、 $\log_{10} N$ と表されます。

常用対数とは？
1. 正の数の整数部分の桁数
2. 正の数の小数首位
常用対数（例題）
おわりに

常用対数とは？

常用対数は、 $10$ を底とする対数として定義されています。つまり、 $\log_{10} N$ と表されます。

また、対数の計算をする上では、下の $3$ つの公式を覚えておくことが大切です。

・ $\log_{a} (b \times c$ =\log_a b+\log_a c\)

・ $\log_{a} (\frac{b}{c}$ =\log_a b-\log_a c\)

・ $\log_{a} b^{k} = k \log_{a} b$

正の数 $N$ は　 $a \times 10^{n}$ ( $1 \leq a < 10$ ,　 $n$ は整数) で表され

$\log_{10} N = n + \log_{10} a$ 　 $0 \leq \log_{10} a < 1$

$\log_{10} N = \log_{10} (a \times 10^{n})$
　　　　　 $= \log_{10} a + \log_{10} 10^{n}$
　　　　　 $= \log_{10} a + n \log_{10} 10$
　　　　　 $= \log_{10} a + n$

$10^{n}$ の部分が正の数の桁数、 $a$ が正の数の先頭の数字を表しています。大きい数字である場合、桁数だけでも知りたいといった場面で常用対数を用います。常用対数を用いると、 $N = 10^{50}$ のように $50$ 桁の数字を $\log_{10} N = 50$ というように表すことができます。また、 $N$ がどんな数字であってもそれに対応する数字（今回なら $50$ の部分）が常用対数表で決まっています。

今回は、常用対数表の見方は割愛します。困ったときには下の方にあるフォームで聞いてください！

正の数の整数部分の桁数

正の数の桁数を求めるための手法です。

$N$ の整数部分が $k$ 桁
$⟷$ $10^{k - 1} \leq N < 10^{k}$
$⟷$ $k - 1 \leq \log_{10} N < k$

例えば $N = 132$ なら、

$10^{2} \leq N < 10^{3}$ となり、

　 $\log_{10} 10^{2} \leq \log_{10} N < \log_{10} 10^{3}$

　 $2 \leq \log_{10} N < 3$

と表すことができる。

正の数の小数首位

小数の $0$ じゃない数字が初めてくるのは小数第何位かを求める手法です。
　例） $0.00321$ なら小数第 $3$ に $0$ じゃない数字が初めて来ます。

$N$ は小数第 $k$ 位に初めて $0$ でない数字が現れる。

$⟷$ $\frac{1}{10^{k}} \leq N < \frac{1}{10^{k - 1}}$

$⟷$ $10^{- k} \leq N < 10^{- k + 1}$

$⟷$ $- k \leq \log_{10} N < - k + 1$

例えば $N = 0.00321$ なら、

$10^{- 5} \leq N < 10^{- 4}$ となり

　 $- 5 \leq \log_{10} N < - 4$

と表すことができる

常用対数（例題）

$\log_{10} 2 = 0.3010$ ,　 $\log_{10} 3 = 0.4771$ とする。

(1)　 $6^{50}$ の何桁の整数か。

(2)　 $(\frac{2}{3})^{100}$ を小数で表すと、小数第何位に初めて $0$ でない数字が現れるか。

＞＞詳細はこちらから

（解説）

(1)　 $6^{50}$ の何桁の整数か。

$\log_{10} 6^{50}$
$= 50 \log_{10} 6$
$= 50 \log_{10} (2 \cdot 3)$
$= 50 (\log_{10} 2 + \log_{10} 3)$
$= 50 (0.3010 + 0.4771) = 38.905$

ゆえに、 $38 < \log_{10} 6^{50} < 39$

$38 < \log_{10} 6^{50}$
$10^{38} < 6^{50}$

$\log_{10} 6^{50} < 39$
$6^{50} < 10^{39}$

よって、 $10^{38} < 6^{50} < 10^{39}$

したがって、 $6^{50}$ は $39$ 桁の整数である。

(2)　 $(\frac{2}{3})^{100}$ を小数で表すと、小数第何位に初めて $0$ でない数字が現れるか。

$\log_{10} (\frac{2}{3})^{100}$

$= 100 \log_{10} (\frac{2}{3})$

$= 100 (\log_{10} 2 - \log_{10} 3)$

$= 100 (0.3010 - 0.4771) = - 17.61$

ゆえに、 $- 18 < \log_{10} (\frac{2}{3})^{100} < - 17$

$- 18 < \log_{10} (\frac{2}{3})^{100}$
$10^{- 18} < (\frac{2}{3})^{100}$

$\log_{10} (\frac{2}{3})^{100} < - 17$
$(\frac{2}{3})^{100} < 10^{- 17}$

したがって、小数第 $18$ 位に初めて $0$ でない数字が現れる。

おわりに

さいごまで読んでいただきありがとうございました！

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私自身、数学が得意になれたのはただ運が良かったんだと思っています。たまたま親が通塾させることに積極的だったり、友達が入るって理由でそろばんに入れたり、他の科目が壊滅的だったおかげで数学が(相対的に)得意だと勘違いできたり。

”たまたま”得意になれたこの恩を、今数学の学習に困っている人に還元できたらなと思っています。お金は取りません。できる限り(何百人から連絡が来たら難しいかもですが…)真摯に向き合おうと思っていますのでオアシスだと思ってご連絡ください。

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