常用対数は、\(10\) を底とする対数として定義されています。
つまり、 \(\log_{10} N\) と表されます。
常用対数とは？
常用対数は、\(10\) を底とする対数として定義されています。つまり、 \(\log_{10} N\) と表されます。
また、対数の計算をする上では、下の \(3\) つの公式を覚えておくことが大切です。
・\(\log_a(b\times c\)=\log_a b+\log_a c\)
・\(\log_a(\displaystyle\frac{b}{c}\)=\log_a b-\log_a c\)
・\(\log_a b^k=k\log_a b\)
正の数 \(N\) は \(a\times 10^n\) (\(1\leq a<10\), \(n\) は整数) で表され
\(\log_{10} N=n+\log_{10} a\) \(0\leq \log_{10} a<1\)
\(\log_{10} N=\log_{10} (a\times 10^n)\)
\(=\log_{10} a+\log_{10} 10^n\)
\(=\log_{10} a+n \log_{10} 10\)
\(=\log_{10} a+n\)
\(10^n\) の部分が正の数の桁数、\(a\) が正の数の先頭の数字を表しています。大きい数字である場合、桁数だけでも知りたいといった場面で常用対数を用います。常用対数を用いると、\(N=10^{50}\) のように\(50\) 桁の数字を \(\log_{10} N=50\) というように表すことができます。また、\(N\) がどんな数字であってもそれに対応する数字（今回なら \(50\) の部分）が常用対数表で決まっています。
今回は、常用対数表の見方は割愛します。困ったときには下の方にあるフォームで聞いてください！
正の数の整数部分の桁数
\(N\) の整数部分が \(k\) 桁
\(\longleftrightarrow\) \(10^{k-1}\leq N<10^k\)
\(\longleftrightarrow\) \(k-1\leq\log_{10} N<k\)
例えば \(N=132\) なら、
\(10^2\leq N<10^3\) となり、
\(\log_{10} 10^2\leq \log_{10} N<\log_{10} 10^3\)
\(2\leq \log_{10} N<3\)
と表すことができる。
正の数の小数首位
\(N\) は小数第 \(k\) 位に初めて \(0\) でない数字が現れる。
\(\longleftrightarrow\) \(\displaystyle\frac{1}{10^k}\leq N<\displaystyle\frac{1}{10^{k-1}}\)
\(\longleftrightarrow\) \(10^{-k}\leq N<10^{-k+1}\)
\(\longleftrightarrow\) \(-k\leq \log_{10} N<-k+1\)
例えば \(N=0.00321\) なら、
\(10^{-5}\leq N<10^{-4}\) となり
\(-5\leq \log_{10} N<-4\)
と表すことができる
常用対数（例題）
\(\log_{10} 2=0.3010\), \(\log_{10} 3=0.4771\) とする。
(1) \(6^{50}\) の何桁の整数か。
(2) \(\big(\displaystyle\frac{2}{3}\big)^{100}\) を小数で表すと、小数第何位に初めて \(0\) でない数字が現れるか。
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（解説）
(1) \(6^{50}\) の何桁の整数か。
\(\log_{10} 6^{50}\)
\(=50\log_{10} 6\)
\(=50\log_{10} (2\cdot 3)\)
\(=50(\log_{10} 2+\log_{10} 3)\)
\(=50(0.3010+0.4771)=38.905\)
ゆえに、\(38<\log_{10} 6^{50}<39\)
\(38<\log_{10} 6^{50}\)
\(10^{38}<6^{50}\)
\(\log_{10} 6^{50}<39\)
\(6^{50}<10^{39}\)
よって、\(10^{38}<6^{50}<10^{39}\)
したがって、\(6^{50}\) は \(39\) 桁の整数である。
(2) \(\big(\displaystyle\frac{2}{3}\big)^{100}\) を小数で表すと、小数第何位に初めて \(0\) でない数字が現れるか。
\(\log_{10} \big(\displaystyle\frac{2}{3}\big)^{100}\)
\(=100\log_{10} \big(\displaystyle\frac{2}{3}\big)\)
\(=100(\log_{10} 2-\log_{10} 3)\)
\(=100(0.3010-0.4771)=-17.61\)
ゆえに、\(-18<\log_{10} \big(\displaystyle\frac{2}{3}\big)^{100}<-17\)
\(-18<\log_{10} \big(\displaystyle\frac{2}{3}\big)^{100}\)
\(10^{-18}<\big(\displaystyle\frac{2}{3}\big)^{100}\)
\(\log_{10} \big(\displaystyle\frac{2}{3}\big)^{100}<-17\)
\(\big(\displaystyle\frac{2}{3}\big)^{100}<10^{-17}\)
したがって、小数第 \(18\) 位に初めて \(0\) でない数字が現れる。
おわりに
さいごまで読んでいただきありがとうございました！
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