【平方根】二重根号の仕組みと外し方

二重根号の外し方

今回は \(2\) 重根号の仕組みと外し方について紹介します。

やり方を覚えてしまえばそれまでですが、理論を知っていれば、その考え方を他の公式や問題にも応用できるようになり、「覚える数学」から抜け出せるきっかけになるかもしれません。

では、実際に見ていきましょう。

二重根号の公式とその導出

二重根号の外し方（問題）

次の式を簡単にしなさい。

(\(1\)) \(\sqrt{8+2\sqrt{15}}\)
(\(2\)) \(\sqrt{3+\sqrt{5}}\)

答案の例

（\(1\)）

　\(\sqrt{8+2\sqrt{15}}\)
\(=\sqrt{5+3+2\sqrt{5 \times 3}}\)
\(=\sqrt{5}+\sqrt{3}\)

（\(2\)）

　\(\sqrt{3+\sqrt{5}}\)
\(=\sqrt{\displaystyle \frac{6+2\sqrt{5}}{2}}\)
\(=\displaystyle \frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{2}}\)
\(=\displaystyle \frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{2}\)

解説

（\(1\)）　

まずは、一般的な \(2\) 重根号の外し方を紹介します。

根号（ルート）というものは、いわゆる \(\displaystyle \frac{1}{2}\) 乗なので、例えば \(\sqrt{3}\)は、 \(3^{\frac{1}{2}}\) ということです。

この性質を使うことで、\(\sqrt{3^2}\) など、根号の中身が \(2\) 乗の形になっているものに関して、根号を外すことができたわけです。

細かな途中式を書くと、

　\(\sqrt{3^2}\)
\(=(3^2)^{\frac{1}{2}}\)
\(=3^{(2 \times \frac{1}{2})}\)
\(=3\)

のように計算することができるわけです。

ここで重要な知識は、根号の中身を \(2\) 乗の形で表せば、根号を外すことができる、という事実です。

つまり今回の問題で言えば、 根号の中身である \(8+2\sqrt{15}\) を \(2\) 乗の形で表すことができれば、一番外側の根号を外すことができるということになります。

次に、 \(2\) 乗の形を作り出すためには、

　\(x^2+2xy+y^2=(x+y)^2\)

の因数分解の公式を使って式変形を行うことになります。

みなさん、 この因数分解を行うとき、真ん中の \(2xy\) に着目して考え始めませんか？

この項は、 \((x+y)^2\) の \(x\) 、 \(+y\) 、\(2\) の \(3\) つを掛け合わせることによってできていますね。
例えば、 \(x^2+6x+9\) の因数分解をする場合、真ん中の \(6x\) は \(x\) 、 \(3\) 、\(2\) の \(3\) つを掛け合わせてできています。
これにより、 \((x+3)^2\) がでてきますね。

おわかりのように、真ん中の項には \(2\) が確定でかけ算されています。
ルートが入っている問題でも同様に、真ん中の項にあたる \(2\) 倍されている項に着目するのです。

このことを念頭に置きながら、具体的に本問を見ていきましょう。

今回は、\(\sqrt{8+2\sqrt{15}}\) の中にある \(2\) つの項を見ると、どちらも \(2\) が掛けられており、因数分解の際の真ん中の項になる可能性があります。

まず \(8\) が真ん中の項になると考えてみます。

しかし、 \(8\) を \(3\) つのかけ算に分解しても、意味がないことがわかりますでしょうか？
（例えば、 \(2 \times 1\times 4\) のように考えても、 \((1+4)^2\) のように因数分解される？、とよくわからなくなりますね。）

よって、真ん中の項になり得るのは、 \(2\sqrt{15}\) のほうということになります。

この数での分解候補は、

　\(2 \times \sqrt{3} \times \sqrt{5}\)
　\(2 \times \sqrt{1} \times \sqrt{15}\)

の \(2\) 通りです。

これらを因数分解した形で表そうとすると、

　\((\sqrt{3}+\sqrt{5})^2\)
　\((\sqrt{1}+\sqrt{15})^2\)

となるので、これらを展開してもとの \(8+2\sqrt{15}\) という式に戻れば、因数分解成功となります。

つまり、\((\sqrt{3}+\sqrt{5})^2\) の因数分解が正解だったということがわかります。

\(2\) 乗すると、\(\sqrt{3}\) と \(\sqrt{5}\) のルートが外れるので、 \(3+2\sqrt{15}+5\) となり、 \(8+2\sqrt{15}\) となりますね。

よって、 \(2\) 重根号の中身が因数分解できたため、

　\(\sqrt{8+2\sqrt{15}}\)
\(=\sqrt{(\sqrt{5}+\sqrt{3})^2}\)
\(=\sqrt{5}+\sqrt{3}\)

のように変形し、答えを導くことができるのです。

\(\sqrt{a+2\sqrt{b}}\) の \(2\) 重根号を外すときは、 \(2\sqrt{b}\) に着目し、一番外側のルートの中身を因数分解すると式を整理できる。

まず、 \(2\sqrt{b}=2 \times \sqrt{x} \times \sqrt{y}\) となる \(x\) と \(y\) を探す。

次に、この \(x\) と \(y\) に関して \((\sqrt{x}+\sqrt{y})^2\) を作ってみて、展開して\(a+2\sqrt{b}\) に戻れば、因数分解成功となる。

（\(2\)）

こちらも同じように、まずは\(2\sqrt{b}\)となっている項に着目したいのですが、見てわかる通り、\(2\sqrt{b}\)になっている項がありません。

こういう場合、上記の規則性を使える形に式を少し変形する必要があります。

むりやり \(3+\sqrt{5}\) を \(3+2\sqrt{5}\) にしてみます。しかし、この場合もとの式と値が変わってしまうため、\(2\sqrt{5}\) を作りつつ、もとの式と値が変わらないように、うまく式全体を変形しなければなりません。

そこで、全体を \(2\) 倍して \(2\) で割るという手法を取ります。

つまり、 \(3+\sqrt{5}\) を \(2\) 倍して \(6+2\sqrt{5}\) とし、それを \(2\) で割って \(\displaystyle \frac{6+2\sqrt{5}}{2}\) を作るわけです。
こうすれば、もとの式と結果的に値は変わりませんね。かつ、分子を見ると、ちゃんとルートの前に \(2\) が入っています。

\(2\sqrt{b}\) の \(2\) がない場合、式が変わらないようにしながら、むりやり \(2\) を作り出そう

これで式全体を見てみると、

　\(\sqrt{\displaystyle \frac{6+2\sqrt{5}}{2}}\)

\(=\displaystyle \frac{\sqrt{6+2\sqrt{5}}}{\sqrt{2}}\)

となるため、分子に関して、（\(1\)）と同じように、 \(2\) 重根号を外してみます。

今回の場合、

　\(2\sqrt{5}=2 \times \sqrt{5} \times \sqrt{1}\)

しかパターンがないので、 \((\sqrt{5}+\sqrt{1})^2\) を作ります。

念のため展開してみると、

　\((\sqrt{5}+\sqrt{1})^2\)
\(=5+2\sqrt{5}+1\)
\(=6+2\sqrt{5}\)

となり、もとの分子に戻りますね。

よって、

　\(\displaystyle \frac{\sqrt{6+2\sqrt{5}}}{\sqrt{2}}\)
\(=\displaystyle \frac{\sqrt{(\sqrt{5}+\sqrt{1})^2}}{\sqrt{2}}\)
\(=\displaystyle \frac{\sqrt{5}+\sqrt{1}}{\sqrt{2}}\)
\(=\displaystyle \frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{2}}\)

となり、最後に有理化を行って、\(\displaystyle \frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{2}\) を導きます。

おわりに