【平方根】平方根と式の値

平方根と式の値

　①　代入する値が複雑になっているもの
　②　代入する値の中に文字が含まれているもの

②は例えば、 「$x=a$ 、 $a=1$ のとき、$\sqrt{x^2+a}$の値を求めなさい。」などです。

では、実際に見ていきましょう。

平方根と式の値（問題）

次の式の値を求めなさい。

（$1$）$x={\displaystyle \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}}$、$y={\displaystyle \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}}$ のときの $5x^2+7xy+5y^2$ の値

（$2$）$x=a^2+1$、$a=\sqrt{3}-1$ のときの $\sqrt{x+2a}+\sqrt{x-2a}$ の値

答案の例

（$1$）

$$\begin{array}{rcl}x+y& =& {\displaystyle \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}+\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}}\\ & =& {\displaystyle \frac{(\sqrt{5}-\sqrt{3}{)}^2}{2}+\frac{(\sqrt{5}+\sqrt{3}{)}^2}{2}}\\ & =& 8\end{array}$$ $$\begin{array}{rcl}xy& =& {\displaystyle \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}\times \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}}\\ & =& 1\end{array}$$

よって、

$$\begin{array}{rcl}5x^2+7xy+5y^2& =& 5\{(x+y{)}^2-2xy\}+7xy\\ & =& 5(x+y{)}^2-3xy\\ & =& 5\times 8^2-3\times 1\\ & =& 317\end{array}$$

（$2$）

$$\begin{array}{rcl}\sqrt{x+2a}+\sqrt{x-2a}& =& \sqrt{a^2+1+2a}+\sqrt{a^2+1-2a}\\ & =& \sqrt{(a+1{)}^2}+\sqrt{(a-1{)}^2}\\ & =& \sqrt{(\sqrt{3}{)}^2}+\sqrt{(\sqrt{3}-2{)}^2}\end{array}$$

$\sqrt{3}-2<0$ により、$\sqrt{3}-\sqrt{3}+2=2$

解説

（$1$）　

代入する値（今回であれば $x$ と $y$ ）について、 $x+y$ と $xy$ のことを基本対称式と言いますが、これらを考えることがまず第一ステップとなります。

式の値を求める問題で、代入する値が $2$ 種類や $3$ 種類ある場合は、大抵それらは似た見た目になっている可能性が高いです。今回も、 $x$ と $y$ は分子と分母を入れ替えただけですね。

これも、基本対称式を使う合図の一つです。

さて、今回の場合で基本対称式を考えると、まず $x+y$ についてですが、

$$x+y={\displaystyle \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}+\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}}$$

ここで、分母のルートを外すため、前半は $\sqrt{5}-\sqrt{3}$ 、後半は $\sqrt{5}+\sqrt{3}$ を分母にかけます。

分母にかけるものは分子にもかけないと値が変わってしまうので、つまり、

$x+y={\displaystyle \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}\times \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}+\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}\times \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}}$
　　$={\displaystyle \frac{(\sqrt{5}-\sqrt{3}{)}^2}{5-3}+\frac{(\sqrt{5}+\sqrt{3}{)}^2}{5-3}}$
　　$={\displaystyle \frac{5-2\sqrt{15}+3}{2}+\frac{5+2\sqrt{15}+3}{2}}$
　　$={\displaystyle \frac{16}{2}}$
　　$=8$

次に $xy$ について計算しますが、分子と分母を入れ替えただけの数をかけるので、きれいに約分されて $1$ になります。

これにより、あとはもとの式を $x+y$ と $xy$ を使って表し、先程求めた値を代入すれば終わりとなります。

よって、

　$5x^2+7xy+5y^2$
　$=5\{(x+y{)}^2-2xy\}+7xy$
　$=5(x+y{)}^2-3xy$
　$=5\times 8^2-3\times 1$
　$=317$

＜ $x+y$ と $xy$ の作り方＞
基本的に、上の例でみれば、$+7xy$ はすでに $xy$ を使って表されているので、ふれる必要はないわけです。つまり、$5x^2+5y^2$ をどうにかして $x+y$ と $xy$ で表したいのですが、こういうときは、 $(x+y{)}^2$ を作るように式を見てみます。

つまり、
　$5x^2+5y^2$
$=5(x^2+y^2)$
$=5\{(x+y{)}^2-2xy\}$
となるわけです。

変形の仕方としてよく出てくる「 \(x^2+y^2=(x+y)^2-2xy」は、 $x+y$ と $xy$ を生成するのにはとても便利です。
最初は難しく感じるかもしれませんが、この変形を頭に入れておくだけで、多くの問題に対応できるでしょう。

（$2$）

今回は対称式の形ではないので、純粋に代入して解くのですが、（$1$）とは違う罠があるので、一緒に考えていきましょう。

とりあえず代入すると、以下のようになるはずです。

　$\sqrt{x+2a}+\sqrt{x-2a}$
$=\sqrt{a^2+1+2a}+\sqrt{a^2+1-2a}$
$=\sqrt{(a+1{)}^2}+\sqrt{(a-1{)}^2}$
$=\sqrt{(\sqrt{3}{)}^2}+\sqrt{(\sqrt{3}-2{)}^2}$

まずは $x$ を代入し、次に $a$ を代入しました。 $3$ 行目で因数分解しているのは、ルートを外すためです。また同時に、この後の作業で罠を見つけやすくするためでもあります。

さて、ここからですが、ルートの中の数に着目します。
一般的に、例えば $\sqrt{3^2}$ などの場合、 $2$ 乗ができているのでルートの外に出すことができ（ルートを外すことができ）、 $3$ となるはずです。しかし、 $\sqrt{(-3{)}^2}$ であれば、そのままルートの外に出して $-3$ とはできないはずですね。

「実数の範囲では、ルートの値は正の数でなければならない」

上記の例では、
　　$\sqrt{(-3{)}^2}=-3$
のようになり、ルートの値（左辺）とマイナスの値（右辺）が等しくなってしまうため、この変形は間違っているという結果になります。

$(-3{)}^2$ のように、そのままルートを外すとマイナスの値になってしまう場合には、一回 $2$ 乗を計算し、 $9$ としてから、 $3^2$ のように戻してルートの外に出すことで、 $3$ という結果を得ます。

つまり、ルートの値を正の数にするためには、ルートの中も正の数にしなければならないのです。

つまり、ルートの中身が $2$ 乗の形で表されていても、 $2$ 乗の中身が正の数でなければそのまま外すことはできず、仮に負の数だった場合は $2$ 乗の中身に $-1$ をかけてから、ルートとともに $2$ 乗を外します。

ここで、今回の問題を考えてみましょう。

$\sqrt{(\sqrt{3}{)}^2}$ は、 $2$ 乗の中身が $\sqrt{3}$ という正の数なので、そのまま外して $\sqrt{3}$ となりますが、後半の $\sqrt{(\sqrt{3}-2{)}^2}$ に関しては、$\sqrt{3}-2$ が負の数のため、
　 $\sqrt{(\sqrt{3}-2{)}^2}$
　$=\sqrt{(2-\sqrt{3}{)}^2}$
　$=2-\sqrt{3}$

となるわけです。

あとは、これらの和を考え、$\sqrt{3}+2-\sqrt{3}=2$ が答えとなります。

おわりに