【式と証明】『等式の証明』条件の式が複雑な等式の証明

$\ne$ が条件式に含まれていたら、どう解くか

今回は複雑な条件式が含まれる等式の証明を扱っていきます。中でも、$\ne$ が条件式にあるものを紹介します。

例えば、$x\ne y$ ということは、もちろん $x$ と $y$ が同じ値を取らないということではありますが、 $y$ を移項すると、

　$x-y\ne 0$

ということになりますね。これがどういう意味なのか、考えるところから始めていきましょう。

まずは問題を見ていきましょう！

等式の証明の問題

$x^2-yz=2$,　$y^2-zx=2$,　$x\ne y$のとき、$z^2-xy=2$であることを証明しなさい。

答案の例

$x^2-yz=2\cdots \mathrm{①}$、$y^2-zx=2\cdots \mathrm{②}$ とする。

$\mathrm{①}-\mathrm{②}$から、
　 $x^2-y^2-(yz-zx)=0$

よって、
　$(x-y)(x+y+z)=0$

$x\ne y$ により、$x+y+z=0$
ゆえに、 $x+y=-z\cdots \mathrm{③}$

$\mathrm{①}+\mathrm{②}$から、
　 $x^2+y^2-(yz+zx)=4$

よって、
　$(x+y{)}^2-2xy-z(x+y)=4$

③から、$z^2-2xy+z^2=4$
ゆえに、$2z^2-2xy=4$
　　　　$z^2-xy=2$

解説

まずは前半で触れていた、$x\ne y$ の条件の使い方を説明していきます。まず $y$ を移項し、$x-y\ne 0$ を作るところまでは説明しましたね。

$0$ ではない、とはどういうことでしょうか。

例えば、

$(x-y)(a+b)=0$

という因数分解がされた式があるとします。この式は、 $x-y$ か $a+b$ のどちらかが $0$ にならないと、等式が成り立ちません。
つまり今のところ、$x-y=0$ か $a+b=0$ の $2$ パターンを考えなければいけない状況です。
しかし、$x-y\ne 0$ という条件が与えられていた場合、 $0$ になるのは $a+b$ で確定するのです。

このように、因数分解された式の因数に $x-y$ を含むようにすれば、場合分けの数を $1$ つ減らせるのです。
問題もこの知識を使うことを意図して作られているので、 $x-y$ を因数に含むように因数分解された式が、必ずどこかで出てくるはず、と考えましょう。

さて、本題に戻ります。

ではどうやって $x-y$ を作り出せばいいのかです。
今回は、$x\ne y$ 以外に、式が $2$ つ与えられていますね。みなさん、式が $2$ 本あるとき、中学校までの知識だけを使おうとすると、連立方程式を思い浮かべませんか？

そしてその時の解き方は、加減法と代入法の $2$ 種類あったと思います。
考え方はそれとほぼ同じです。

例えば、

「$x^2-yz=2$」を、 「$z={\displaystyle \frac{x^2-2}{y}}$」 と変形して、もう一つの式に代入しようとすれば、代入法。
「$x^2-yz=2$」と「$y^2-zx=2$」を足したり引いたりしてみようと考えれば、加減法です。

今回は、代入しようとすると分数が出てくるため、加減法の方を採用することにします。

$2$ 式を足し合わせると、
　 $x^2+y^2-(yz+zx)=4\cdots A$
引き合わせると、
　$x^2-y^2-(yz-zx)=0\cdots B$

$B$ の式について、
　$(x-y)(x+y)-(yz-zx)=0$
　$(x-y)(x+y)-z(y-x)=0$
　$(x-y)(x+y)+z(x-y)=0$
　$(x-y)(x+y+z)=0$

ここで、$x-y\ne 0$ なので、$x+y+z=0$となります。この式は、あとで使います。

次に、$A$ の式について、
　$(x+y{)}^2-2xy-z(y+x)=4$

ここで、$x+y+z=0$について $z$ を移項した $x+y=-z$ を使って、上記の式を変形し、
　$(x+y{)}^2-2xy-z(y+x)=4$
　$(-z{)}^2-2xy-z\times (-z)=4$
　$z^2-2xy+z^2=4$
　$2z^2-2xy=4$
　$z^2-xy=2$

$A$ の式変形が思いつかないという人は、$x+y+z=0$を使って $z=-x-y$ とし、
　$x^2+y^2-(yz+zx)=4\cdots A$
　$z^2-xy=2\cdots \mathrm{示}\mathrm{す}\mathrm{式}$
の $2$ 式から、 $z$ を消去するやり方でもいいと思います。

$A$ について、
　$x^2+y^2-(yz+zx)=4$
　$x^2+y^2-z(y+x)=4$
　$x^2+y^2-(-x-y)(y+x)=4$
　$x^2+y^2+(x+y)(y+x)=4$
　$x^2+y^2+(x+y{)}^2=4$
　$x^2+y^2+x^2+2xy+y^2=4$
　$2x^2+2y^2+2xy=4$
　$x^2+y^2+xy=2$

次に示す式について、
　$z^2-xy=2$
　$(-x-y{)}^2-xy=2$
　$x^2+2xy+y^2-xy=2$
　$x^2+y^2+xy=2$

よって、これらの式は同じだということがわかります。問題集に書いてある解答以外にも、解き方にはいくつかルートがありますので、一定のやり方に捕らわれないことをオススメします。

おわりに