【式と証明】『等式の証明』比例式を扱う等式の証明

比例式が条件になっている等式の証明

今回は等式の証明の中で、比例式が条件として設定されている問題を紹介します！

では、実際に問題を一緒に見ていきましょう。

比例式が条件になっている等式の証明（問題）

${\displaystyle \frac{a}{b}={\displaystyle \frac{c}{d}}}$ のとき、次の等式を証明しなさい。

${\displaystyle \frac{a^2+c^2}{a^2-c^2}={\displaystyle \frac{ab+cd}{ab-cd}}}$

答案の例

${\displaystyle \frac{a}{b}={\displaystyle \frac{c}{d}=k}}$ とおくと、$a=bk$ 、$c=dk$となる。

よって、左辺の計算は、
　${\displaystyle \frac{a^2+c^2}{a^2-c^2}={\displaystyle \frac{b^2{k}^2+d^2{k}^2}{b^2{k}^2-d^2{k}^2}}}$

　　$={\displaystyle \frac{(b^2+d^2)k^2}{(b^2-d^2)k^2}}$

　　$={\displaystyle \frac{b^2+d^2}{b^2-d^2}}$

また、右辺の計算は、
　${\displaystyle \frac{ab+cd}{ab-cd}={\displaystyle \frac{b^2{k}^2+d^2{k}^2}{b^2{k}^2-d^2{k}^2}}}$

　　$={\displaystyle \frac{(b^2+d^2)k^2}{(b^2-d^2)k^2}}$

　　$={\displaystyle \frac{b^2+d^2}{b^2-d^2}}$

したがって、 ${\displaystyle \frac{a^2+c^2}{a^2-c^2}={\displaystyle \frac{ab+cd}{ab-cd}}}$

解説

この手の問題は、例えば ${\displaystyle \frac{a}{b}={\displaystyle \frac{c}{d}}}$ であれば、$a={\displaystyle \frac{bc}{d}}$ のようにして、$a$ に代入するという方法がとれます。

しかしそれでは、条件式も示すべき等式も、分数が含まれてしまうため、計算が複雑になってしまいます。

そこで、 ${\displaystyle \frac{a}{b}}$ も ${\displaystyle \frac{c}{d}}$ もイコールでつながれている（何かしらの同じ値をとっている）のであれば、これらを例えば $k$ という値になるとして、考えてみるのです。

つまり、${\displaystyle \frac{a}{b}=k}$、 ${\displaystyle \frac{c}{d}=k}$ ということです。

一般的に、分母は $0$ ではないということが明記されていますが、このような問題では、書かれていなくても分母は $0$ ではないとします。さらに、 $k$ に関しても、 $0$ ではないものとして、扱っていきます。

文字が増えることで、さらに解きにくくなったように錯覚しますが、この方法のメリットは、代入する条件式が分数にならないので、$a={\displaystyle \frac{bc}{d}}$ を代入することに比べると、計算が楽になっているということです。

これらの式は、変形すると、
$a=bk$、 $c=dk$
となり、${\displaystyle \frac{a^2+c^2}{a^2-c^2}={\displaystyle \frac{ab+cd}{ab-cd}}}$に代入すると、 $a$ と $c$ が削除できます。

実際に代入してみると、左辺の計算は、
　${\displaystyle \frac{a^2+c^2}{a^2-c^2}={\displaystyle \frac{b^2{k}^2+d^2{k}^2}{b^2{k}^2-d^2{k}^2}}}$

　　$={\displaystyle \frac{(b^2+d^2)k^2}{(b^2-d^2)k^2}}$

　　$={\displaystyle \frac{b^2+d^2}{b^2-d^2}}$

同様に、右辺の計算も行うと、
　${\displaystyle \frac{ab+cd}{ab-cd}={\displaystyle \frac{b^2{k}^2+d^2{k}^2}{b^2{k}^2-d^2{k}^2}}}$

　　$={\displaystyle \frac{(b^2+d^2)k^2}{(b^2-d^2)k^2}}$

　　$={\displaystyle \frac{b^2+d^2}{b^2-d^2}}$

これにより、左辺と右辺が等しくなったので、もとの等式は証明できたということになります。

おわりに