【微分】『平均変化率と微分係数』例題と解説

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平均変化率とは、ある点とある点の通る傾きのこと

微分係数とは、ある点における接線の傾きを求めること

平均変化率と微分係数

平均変化率

平均変化率とは、ある点とある点の通る傾きのこと

つまり、図において線分 $A B$ の傾きを考えると、点 $A$ から点 $B$ までの平均変化率になります。

$\frac{f (b) - f (a)}{b - a}$

微分係数

微分係数とは、ある点における接線の傾きを求めること

上記の図において、点 $A$ における接線の傾きを求めるためには、点 $B$ を点 $A$ に近づけていくと良いです。

$lim_{b \to a} \frac{f (b) - f (a)}{b - a}$

また、 $b - a = h$ とおいて以下のようにも表されます。

$lim_{h \to 0} \frac{f (a + h) - f (a)}{h}$

例題

$f (x) = x^{2} - x$ について、次のものを求めよ。

(1)　 $x = 1$ から $x = 1 + h$ $(h \neq 0)$ まで変化するときの平均変化率
(2)　 $x = 1$ における微分係数
(3)　曲線 $y = f (x)$ 上の点 $A$ $(t$ ,　 $f (t))$ における接戦の傾きが $- 1$ となるとき、 $t$ の値を求めよ。

解説

(1)　

$x = 1$ のとき、 $f (1) = 0$
$x = 1 + h$ のとき、 $f (1 + h) = h^{2} + h$

よって、

$\frac{f (1 + h) - f (1)}{(1 + h) - 1}$

　 $= \frac{h^{2} + h - 0}{h}$

　 $= h + 1$

(2)　

$lim_{h \to 0} \frac{f (a + h) - f (a)}{h}$

$lim_{h \to 0} \frac{f (1 + h) - f (1)}{(1 + h) - 1}$

　 $= lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + h - 0}{h}$

　 $= lim_{h \to 0} (h + 1) = 1$

(3)

$lim_{h \to 0} \frac{f (t + h) - f (t)}{h} = - 1$ となるような $t$ を求める。

左辺は、 $f (x)$ を微分して、 $x = t$ を代入した式なので、

　 $f^{'} (x) = 2 x - 1$

となり、 $x = t$ を代入すると、

　 $f^{'} (t) = 2 t - 1$

したがって、

　 $2 t - 1 = - 1$
　 $t = 0$

おわりに

さいごまで読んでいただきありがとうございました！

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私自身、数学が得意になれたのはただ運が良かったんだと思っています。たまたま親が通塾させることに積極的だったり、友達が入るって理由でそろばんに入れたり、他の科目が壊滅的だったおかげで数学が(相対的に)得意だと勘違いできたり。

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