【微分】『平均変化率と微分係数』例題と解説

平均変化率とは、ある点とある点の通る傾きのこと

微分係数とは、ある点における接線の傾きを求めること

平均変化率と微分係数

平均変化率

平均変化率とは、ある点とある点の通る傾きのこと

つまり、図において線分 \(AB\) の傾きを考えると、点 \(A\) から 点 \(B\) までの平均変化率になります。

\(\displaystyle\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\)

微分係数

微分係数とは、ある点における接線の傾きを求めること

上記の図において、点 \(A\) における接線の傾きを求めるためには、点 \(B\) を 点 \(A\) に近づけていくと良いです。

\(\displaystyle\lim_{b \to a}\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\)

また、\(b-a=h\) とおいて以下のようにも表されます。

\(\displaystyle\lim_{h \to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\)

例題

\(f(x)=x^2-x\) について、次のものを求めよ。

(1)　\(x=1\) から \(x=1+h\) \((h\neq 0)\) まで変化するときの平均変化率
(2)　\(x=1\) における微分係数
(3)　曲線 \(y=f(x)\) 上の点 \(A\) \((t\),　\(f(t))\) における接戦の傾きが \(-1\) となるとき、\(t\) の値を求めよ。

解説

(1)　

\(x=1\) のとき、\(f(1)=0\)
\(x=1+h\) のとき、\(f(1+h)=h^2+h\)

よって、

\(\displaystyle\frac{f(1+h)-f(1)}{(1+h)-1}\)

　\(=\displaystyle\frac{h^2+h-0}{h}\)

　\(=h+1\)

(2)　

\(\displaystyle\lim_{h \to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\)

\(\displaystyle\lim_{h \to 0}\frac{f(1+h)-f(1)}{(1+h)-1}\)

　\(=\displaystyle\lim_{h \to 0}\frac{h^2+h-0}{h}\)

　\(=\displaystyle\lim_{h\to 0}(h+1)=1\)

(3)

\(\displaystyle\lim_{h \to 0}\frac{f(t+h)-f(t)}{h}=-1\) となるような \(t\) を求める。

左辺は、\(f(x)\) を微分して、\(x=t\) を代入した式なので、

　\(f'(x)=2x-1\)

となり、 \(x=t\) を代入すると、

　\(f'(t)=2t-1\)

したがって、

　\(2t-1=-1\)
　\(t=0\)

おわりに