平均変化率とは、ある点とある点の通る傾きのこと
微分係数とは、ある点における接線の傾きを求めること
平均変化率と微分係数
平均変化率
平均変化率とは、ある点とある点の通る傾きのこと
つまり、図において線分 \(AB\) の傾きを考えると、点 \(A\) から 点 \(B\) までの平均変化率になります。
\(\displaystyle\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\)
微分係数
微分係数とは、ある点における接線の傾きを求めること
上記の図において、点 \(A\) における接線の傾きを求めるためには、点 \(B\) を 点 \(A\) に近づけていくと良いです。
\(\displaystyle\lim_{b \to a}\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\)
また、\(b-a=h\) とおいて以下のようにも表されます。
\(\displaystyle\lim_{h \to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\)
例題
\(f(x)=x^2-x\) について、次のものを求めよ。
(1) \(x=1\) から \(x=1+h\) \((h\neq 0)\) まで変化するときの平均変化率
(2) \(x=1\) における微分係数
(3) 曲線 \(y=f(x)\) 上の点 \(A\) \((t\), \(f(t))\) における接戦の傾きが \(-1\) となるとき、\(t\) の値を求めよ。
解説
(1)
\(x=1\) のとき、\(f(1)=0\)
\(x=1+h\) のとき、\(f(1+h)=h^2+h\)
よって、
\(\displaystyle\frac{f(1+h)-f(1)}{(1+h)-1}\)
\(=\displaystyle\frac{h^2+h-0}{h}\)
\(=h+1\)
(2)
\(\displaystyle\lim_{h \to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\)
\(\displaystyle\lim_{h \to 0}\frac{f(1+h)-f(1)}{(1+h)-1}\)
\(=\displaystyle\lim_{h \to 0}\frac{h^2+h-0}{h}\)
\(=\displaystyle\lim_{h\to 0}(h+1)=1\)
(3)
\(\displaystyle\lim_{h \to 0}\frac{f(t+h)-f(t)}{h}=-1\) となるような \(t\) を求める。
左辺は、\(f(x)\) を微分して、\(x=t\) を代入した式なので、
\(f'(x)=2x-1\)
となり、 \(x=t\) を代入すると、
\(f'(t)=2t-1\)
したがって、
\(2t-1=-1\)
\(t=0\)
おわりに
さいごまで読んでいただきありがとうございました！
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私自身、数学が得意になれたのはただ運が良かったんだと思っています。たまたま親が通塾させることに積極的だったり、友達が入るって理由でそろばんに入れたり、他の科目が壊滅的だったおかげで数学が(相対的に)得意だと勘違いできたり。
”たまたま”得意になれたこの恩を、今数学の学習に困っている人に還元できたらなと思っています。お金は取りません。できる限り(何百人から連絡が来たら難しいかもですが…)真摯に向き合おうと思っていますのでオアシスだと思ってご連絡ください。