【微分】『法線の方程式』 例題と解説

接線の方程式/法線の方程式

〈考え方〉

図のように、接線に垂直な直線が法線です。

以上のことを踏まえると、

接線の傾きが $f^{\prime }(a)$ となるとき、法線の傾きは、$-{\displaystyle \frac{1}{f^{\prime }(a)}}$ と書ける。

※ $f^{\prime }(a)\times (-{\displaystyle \frac{1}{f^{\prime }(a)}})=-1$

法線の方程式（問題）

曲線 $y={\displaystyle \frac{2}{9}{x}^3-\frac{5}{3}x}$ について、次のものを求めよ。

(1)　曲線上の点 $(2$,　$-{\displaystyle \frac{14}{9})}$ における法線の方程式

(2)　(1) で求めた法線と曲線の共有点のうち、点 $(2$,　$-{\displaystyle \frac{14}{9})}$ 以外の点の座標

解説

$y={\displaystyle \frac{2}{9}{x}^3-\frac{5}{3}x}$

$y^{\prime }={\displaystyle \frac{2}{3}{x}^2-\frac{5}{3}}$ $\cdots$ (A)

(1)

$x=2$ における接線の傾きは、

$x=2$ を (A) に代入すると、$y^{\prime }=1$

法線の傾きを $m$ とおくと、

$m\times 1=-1$
　$m=-1$

よって、

　$y+{\displaystyle \frac{14}{9}=(-1)\cdot (x-2)}$
　　$y=-x+{\displaystyle \frac{4}{9}}$

(2)

$y=-x+{\displaystyle \frac{4}{9}}$ $\cdots$ ①

$y={\displaystyle \frac{2}{9}{x}^3-\frac{5}{3}x}$ $\cdots$ ②

${\displaystyle \frac{2}{9}{x}^3-\frac{5}{3}x=-x+{\displaystyle \frac{4}{9}}}$

$2x^3-15x=-9x+4$

$2x^3-6x-4=0$

$x^3-3x-2=0$

$f(x)=x^3-3x-2$ とおくと、$f(-1)=0$ より

$(x+1)(x^2-x-2)=0$

$(x+1{)}^2(x-2)=0$

よって、求める点の $x$ 座標は、$x=-1$ であり、求める共有点の座標は、

$(-1$,　${\displaystyle \frac{13}{9})}$

おわりに