【微分】『法線の方程式』 例題と解説

接線の方程式/法線の方程式

〈考え方〉

図のように、接線に垂直な直線が法線です。

以上のことを踏まえると、

接線の傾きが \(f'(a)\) となるとき、法線の傾きは、\(-\displaystyle\frac{1}{f'(a)}\) と書ける。

※ \(f'(a)\times\left(-\displaystyle\frac{1}{f'(a)}\right)=-1\)

法線の方程式（問題）

曲線 \(y=\displaystyle\frac{2}{9}x^3-\frac{5}{3}x\) について、次のものを求めよ。

(1)　曲線上の点 \(\big(2\),　\(-\displaystyle\frac{14}{9}\big)\) における法線の方程式

(2)　(1) で求めた法線と曲線の共有点のうち、点 \(\big(2\),　\(-\displaystyle\frac{14}{9}\big)\) 以外の点の座標

解説

\(y=\displaystyle\frac{2}{9}x^3-\frac{5}{3}x\)

\(y’=\displaystyle\frac{2}{3}x^2-\frac{5}{3}\) \(\cdots\) (A)

(1)

\(x=2\) における接線の傾きは、

\(x=2\) を (A) に代入すると、\(y’=1\)

法線の傾きを \(m\) とおくと、

\(m\times 1=-1\)
　\(m=-1\)

よって、

　\(y+\displaystyle\frac{14}{9}=(-1)\cdot (x-2)\)
　　\(y=-x+\displaystyle\frac{4}{9}\)

(2)

\(y=-x+\displaystyle\frac{4}{9}\) \(\cdots\) ①

\(y=\displaystyle\frac{2}{9}x^3-\frac{5}{3}x\) \(\cdots\) ②

\(\displaystyle\frac{2}{9}x^3-\frac{5}{3}x=-x+\displaystyle\frac{4}{9}\)

\(2x^3-15x=-9x+4\)

\(2x^3-6x-4=0\)

\(x^3-3x-2=0\)

\(f(x)=x^3-3x-2\) とおくと、\(f(-1)=0\) より

\((x+1)(x^2-x-2)=0\)

\((x+1)^2(x-2)=0\)

よって、求める点の \(x\) 座標は、\(x=-1\) であり、求める共有点の座標は、

\(\big(-1\),　\(\displaystyle\frac{13}{9}\big)\)

おわりに