【微分】区間における関数の最大・最小

三次関数/四次関数の最大・最小

今回は三次関数や四次関数の最大・最小問題です！

基本的には、二次関数の最大・最小を求めるときの流れと同様にして解いていきます。

つまり、「グラフを描いて、 $y$ 軸の高低で最大・最小を求める」です。

”グラフを描く”の部分が二次関数とは違い、微分法を用います。

では、例題を見ていきましょう！

次の関数の最大値と最小値を求めよ。また、そのときの $x$ の値を求めよ。

(1)　 $y = x^{3} - 6 x^{2} + 10$ 　 $(- 2 \leq x \leq 3)$
(2)　 $y = 3 x^{4} - 4 x^{3} - 12 x^{2}$ 　 $(- 1 \leq x \leq 3)$

(1)　 $y = x^{3} - 6 x^{2} + 10$ 　 $(- 2 \leq x \leq 3)$

$y^{'} = 3 x^{2} - 12 x$

$y^{'} = 0$ とおくと、

　 $3 x^{2} - 12 x = 0$
　 $3 x (x - 4) = 0$
　 $x = 0$ ,　 $4$

上記のグラフを見ながら増減表を書くと、

増減表より、
$x = 0$ のとき最大値 $10$
$x = 4$ のとき最小値 $- 22$

(2)　 $y = 3 x^{4} - 4 x^{3} - 12 x^{2}$ 　 $(- 1 \leq x \leq 3)$

$y^{'} = 12 x^{3} - 12 x^{2} - 24 x$

$y^{'} = 0$ とおくと、

　　 $12 x^{3} - 12 x^{2} - 24 x = 0$
　　 $12 x (x^{2} - x - 2) = 0$
　　 $12 x (x - 2) (x + 1) = 0$
　　 $x = - 1$ ,　 $0$ ,　 $2$

上記のグラフを見ながら増減表を書くと、

増減表より、
$x = 3$ のとき最大値 $27$
$x = 2$ のとき最小値 $- 8$

さいごまで読んでいただきありがとうございました！

『統計の扉』で書いている記事

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私自身、数学が得意になれたのはただ運が良かったんだと思っています。たまたま親が通塾させることに積極的だったり、友達が入るって理由でそろばんに入れたり、他の科目が壊滅的だったおかげで数学が(相対的に)得意だと勘違いできたり。

”たまたま”得意になれたこの恩を、今数学の学習に困っている人に還元できたらなと思っています。お金は取りません。できる限り(何百人から連絡が来たら難しいかもですが…)真摯に向き合おうと思っていますのでオアシスだと思ってご連絡ください。