【微分】関数の極限値

関数の極限値

今回は関数の極限値について解説していきます！

直感的に言うと、順番に並べた数がある値に近づく時、その値のことを関数/数列の極限あるいは極限値といい、この関数/数列は収束するといいます。

例）

${\displaystyle \frac{1}{1}}$,　${\displaystyle \frac{1}{2}}$,　${\displaystyle \frac{1}{3}}$,　$\cdots$, \(\displaystyle\frac{1]{100}\),　$\cdots$

この場合、分母がどんどん大きくなっていくので $0$ に近づいていることがわかります。

極限値

不定形の極限

不定形の極限とは、全体がどのような極限地に向かうかが直接定められない以下のようなタイプの極限です。

数列や関数の極限値は、「収束すること」が明らかになっていないと求められません。
例えば、次のような式の形では極限が定まりません。
※「定まりません。」というのは「極限値が存在しない。」という意味ではありません。”あるかどうか”すらわからない形です。

関数の極限値（問題）

等式 ${\displaystyle \underset{x\to 1}{lim}\frac{x^2+ax+b}{x-1}=3}$ を満たす定数 $a$,　$b$ の値を求めよ。

解説

${\displaystyle \underset{x\to 1}{lim}(x-1)=0}$ より

　${\displaystyle \underset{x\to 1}{lim}(x^2+ax+b)=0}$

よって、

　$1+a+b=0$
　$b=-a-1$ $\cdots$ ①

与式に ① を代入すると、

　${\displaystyle \underset{x\to 1}{lim}\frac{x^2+ax+b}{x-1}}$

$={\displaystyle \underset{x\to 1}{lim}\frac{x^2+ax-a-1}{x-1}}$

$={\displaystyle \underset{x\to 1}{lim}\frac{(x-1)(x+a+1)}{x-1}}$

$={\displaystyle \underset{x\to 1}{lim}(x+a+1)=a+2}$

$a+2=3$ であるから、

$a=1$,　$b=-2$

おわりに