【微分法】微分可能性と関数の連続性の意味と関係

微分可能性と関数の連続性

今回は微分可能性と関数の連続性について解説していきます。

それらについて、微分分野の「微分係数」と「導関数」を解説しながら触れていきます！

微分係数

①　定義　関数 $f(x)$ の $x=a$ における微分係数

　$f^{\prime }(a)={\displaystyle \underset{h\to 0}{lim}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}}$

$a+h=x$ とおくと、

　$f^{\prime }(a)={\displaystyle \underset{x\to a}{lim}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}}$

②　微分可能と連続　関数 $f(x)$ が $x=a$ で微分可能ならば、$f(x)$ は $x=a$ である。ただし、逆は成り立たない。

導関数

定義　関数 $f(x)$ の導関数

　$f^{\prime }(x)={\displaystyle \underset{h\to 0}{lim}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}$

微分可能性（問題）

次の関数は、[　] で示された点において連続であるか、微分可能であるかを調べよ。

(1)　$f(x)=|x-a|$ ($a$ は実数の定数)　[$x=a$]

(2)　$f(x)=\{\begin{array}{ll}\sin x& (x\ge 0)\\ x^2+x& (x<0)\end{array}$　[$x=0$]

微分可能性（解説）

(1)　$f(x)=|x-a|$ ($a$ は実数の定数)　[$x=a$]

${\displaystyle \underset{x\to a+0}{lim}f(x)=\underset{x\to a+0}{lim}(x-a)=0}$

${\displaystyle \underset{x\to a-0}{lim}f(x)=\underset{x\to a+0}{lim}\{-(x-a)\}=0}$

ゆえに、${\displaystyle \underset{x\to a}{lim}f(x)=0}$

また、$f(a)=0$ より ${\displaystyle \underset{x\to a}{lim}f(x)=f(a)}$

よって、$f(x)$ は $x=a$ で連続である。

ある関数が連続であっても微分可能であるとは限らないので、別で微分可能かどうかを調べる必要があります。

次に、

${\displaystyle \underset{h\to +0}{lim}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\underset{h\to +0}{lim}\frac{h-0}{h}=1}$

${\displaystyle \underset{h\to -0}{lim}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\underset{h\to -0}{lim}\frac{-h-0}{h}=-1}$

$h⟶+0$ と $h⟶-0$ のときの極限値が異なるから、$f^{\prime }(a)$ は存在しない。

すなわち、$f(x)$ は $x=a$ で微分可能ではない。

(2)　$f(x)=\{\begin{array}{ll}\sin x& (x\ge 0)\\ x^2+x& (x<0)\end{array}$　[$x=0$]

$h⟶+0$ と $h⟶-0$ のときの極限値が一致し、$f^{\prime }(0)=1$ となるので、$f(x)$ は $x=0$ で微分可能である。

ある関数が微分可能であるとき同時に、連続であることも言えます。

したがって、$f(x)$ は $x=0$ で連続である。

おわりに