【微分法の応用】接線と法線

① 曲線 $y=f(x)$ 上の接線と法線

曲線上の点 $A$ を通り、$A$ における接線に垂直な直線を、その曲線の点 $A$ における法線という。曲線 $y=f(x)$ 上の点 $A(a$,　$f(a))$ における接線、法線の傾きはそれぞれ $f^{\prime }(a)$,　$-{\displaystyle \frac{1}{f^{\prime }(a)}}$ [$f^{\prime }(a)\ne 0$] であるから、$A$ における接線、放線の方程式は上の 1, 2 のようになる。

② 曲線 $F(x$,　$y)=0$ 上の接線

曲線 $A{x}^2+B{y}^2=1$ $\cdots$ ① 上の点 $(x_1$,　$y_1)$ における接線の方程式を求める。

① の両辺を $x$ で微分すると

　$2Ax+2By\cdot y^{\prime }=0$

$y_1\ne 0$ のとき　

$B\ne 0$ であるから、接線の傾き $m$ は

$y^{\prime }=-{\displaystyle \frac{Ax}{By}}$ より　$m=-{\displaystyle \frac{A{x}_1}{B{y}_1}}$ ゆえに

　$y-y_1=-{\displaystyle \frac{A{x}_1}{B{y}_1}(x-x_1)}$

よって

　$A{x}_{1}x+B{y}_{1}y=A{x}_1^2+B{y}_1^2$　また　$A{x}_1^2+B{y}_1^2=1$

ゆえに、接線の方程式は

　$A{x}_{1}x+B{y}_{1}y=1$

＜媒介変数表示 $x=f(t)$,　$y=g(t)$ の曲線上の接線＞

$x=a\cos \theta$,　$y=b\sin \theta$ ($a>0$,　$b>0$) で表される曲線上の $\theta ={\theta }_1$ に対応する点における接線の方程式を求める。

${\displaystyle \frac{dx}{d\theta }=-a\sin \theta }$,　${\displaystyle \frac{dy}{d\theta }=b\cos \theta }$ から

${\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{{\displaystyle \frac{dy}{d\theta }}}{{\displaystyle \frac{dx}{d\theta }}}=-\frac{b\cos \theta }{a\sin \theta }}$