【微分法の応用】関数の値の変化、最大・最小

関数の値の変化、最大・最小

関数の増加と減少

関数 $f(x)$ が閉区間 $[a$,　$b]$ で連続で、開区間 $(a$,　$b)$ で微分可能であるとする。

1　開区間 $(a$,　$b)$ で常に $f^{\prime }(x)>0$ ならば、$f(x)$ は $[a$,　$b]$ で単調に増加する
2　開区間 $(a$,　$b)$ で常に $f^{\prime }(x)<0$ ならば、$f(x)$ は $[a$,　$b]$ で単調に減少する
3　開区間 $(a$,　$b)$ で常に $f^{\prime }(x)=0$ ならば、$f(x)$ は $[a$,　$b]$ で定数である

極大値と極小値の求め方

$y=f(x)$ において、

$x=a$ を境目として $f^{\prime }(x)$ が正から負に変われば極大値 $f(a)$をとる。
$x=a$ を境目として $f^{\prime }(x)$ が負から正に変われば極小値 $f(a)$ をとる。

　

関数の極値（問題）

次の関数の極値を求めよ。

(1)　$y=(x^2-3)e^{-x}$
(2)　$y=|x|\sqrt{x+3}$

関数の極値（解説）

(1)　$y=(x^2-3)e^{-x}$

$y^{\prime }=2x{e}^{-x}+(x^2-3)(-e^{-x})$

　$=-(x+1)(x-3)e^{-x}$

$y^{\prime }=0$ とすると、$x=-1$,　$3$

増減表は以下のようになる。

よって、

$x=3$ で極大値 ${\displaystyle \frac{6}{e^3}}$

$x=-1$ で極小値 $-2e$

(2)　$y=|x|\sqrt{x+3}$

定義域は $x\le -3$ である。

$x\le 0$ のとき、$y=x\sqrt{x+3}$ であるから、$x>0$ では

　$y^{\prime }=\sqrt{x+3}+{\displaystyle \frac{x}{2\sqrt{x+3}}}$

　$={\displaystyle \frac{3(x+2)}{2\sqrt{x+3}}}$

ゆえに、$x>0$ では常に　$y^{\prime }>0$

$-3\le x<0$ のとき、

$y=-x\sqrt{x+3}$ であるから、$-3<x<0$

では　$y^{\prime }=-{\displaystyle \frac{3(x+2)}{2\sqrt{x+3}}}$

$y^{\prime }=0$ とすると $x=-2$

増減表は以下のようになる。

よって　

$x=-2$ で極大値 $2$
$x=0$ で極大値 $0$

おわりに