メニュー
yu-to
管理者
本ブログを運営しているyu-toと申します。

高校数学の解説や公務員試験問題の解説、データサイエンスについての記事を書いていきます!

「データサイエンス×教育」に興味があり、日々勉学に励んでいます。

少しでも役に立つ情報の発信をしていきますのでぜひ読んでください。

また、同志からのお声がけはとても励みになります。ぜひ、コメントやメール、SNS等でご連絡ください!
カテゴリー

【式と証明】『恒等式』恒等式とは?

  • URLをコピーしました!

恒等式とは

今回は恒等式の性質を利用した問題を紹介します。

問題文に含まれる馴染みのない言葉によって、少し解きにくいと思うかもしれないものを扱いますので、ぜひご一読ください。

恒等式とは、「変数 x がどんな値のときでも成立する等式」を言います。

恒等式と方程式の違いを並べてみると恒等式がわかりやすいかもしれません。

方程式

x が特定の値のときだけ

 例)2x4=0

x=2 のときだけ等号が成立する。

恒等式

x がどんな値のときでも

 例)(x+1)2=x2+2x+1

x=0, 1, 2 どんな値でも等号が成立する。

恒等式(問題)

等式 (k+2)x+(k1)yk5=0 が実数 k の任意の値に対して成り立つ。このとき、 xy の値を求めなさい。

答案の例

与式を k について整理すると、
(x+y1)k+2xy5=0

これが k の任意の値に対して成り立つため、以下の 2 式が成り立つ。
x+y1=0
2xy5=0

これらの連立方程式を解き、 x=2,y=1

解説

まず、問題文にある「任意の値に対して成り立つ」という部分を見てみましょう。これは、 k の値に何を入れても式が成り立つ、ということを意味しています。

つまり、 k に関する恒等式が成り立つということになります。

ということで、 k について式を整理するところから始めてみましょう。

(k+2)x+(k1)yk5=0
 (x+y1)k+2xy5=0

そしてここで、右辺が 0 になっていることに着目!
右辺が 0 なので、左辺も 0 にならなければなりませんね。k にはあらゆる値が入る可能性があるので、この項を 0 にするためには、かけられている (x+y1)0 にしなければなりません。
これにより、x+y1=0 という式が生まれます。

また、 (x+y1)k0 になった場合、残った 2xy50 にすれば左辺全体が 0 になるため、 2xy5=0 という式が生まれるわけです。

よって、これらを連立させて解くことにより、x=2,y=1 を得ます。

このように、「任意の値に対して成り立つ」と言われた場合は、「恒等式が関係している」という認識で解き進める。そうすると、問題を解く糸口が見つかるかもしれませんので、参考にしてみてください。

おわりに

さいごまで読んでいただきありがとうございました!

『統計の扉』で書いている記事

  • 高校数学の解説
  • 公務員試験の数学
  • 統計学(統計検定2級レベル)

ぜひご覧ください!

数学でお困りの方は、コメントやXでご連絡ください。(Xはこちら

私自身、数学が得意になれたのはただ運が良かったんだと思っています。たまたま親が通塾させることに積極的だったり、友達が入るって理由でそろばんに入れたり、他の科目が壊滅的だったおかげで数学が(相対的に)得意だと勘違いできたり。

”たまたま”得意になれたこの恩を、今数学の学習に困っている人に還元できたらなと思っています。お金は取りません。できる限り(何百人から連絡が来たら難しいかもですが…)真摯に向き合おうと思っていますのでオアシスだと思ってご連絡ください。

  • URLをコピーしました!