【指数関数】『指数不等式』指数不等式を計算するために必要な公式とその例題

今回扱う問題は、指数が含まれた不等式です。

式を変形し、別の文字（$t$ など）に置き換えることによって解くことができます。
※ 解説は下部にあります。

指数不等式を解くために必要な公式

指数不等式の問題

(1)　${\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^{2x+2}<{\left({\displaystyle \frac{1}{16}}\right)}^{x-1}$

(2)　$2\cdot 4^x-17\cdot 2^x+8<0$

(3)　${25}^x-3\cdot 5^x-10\ge 0$

解説

(1)　${\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^{2x+2}<{\left({\displaystyle \frac{1}{16}}\right)}^{x-1}$

$2^{-(2x+2)}<2^{-4(x-1)}$
$2^{-2x-2}<2^{-4x+4}$
$-2x-2<-4x+4$
$2x<6$
$x<3$

(2)　$2\cdot 4^x-17\cdot 2^x+8<0$

$2\cdot 2^{2x}-17\cdot 2^x+8<0$
$2\cdot (2^x{)}^2-17\cdot 2^x+8<0$

ここで、$2^x=t$ とおくと、

$2\cdot t^2-17t+8<0$
$(2t-1)(t-8)<0$
${\displaystyle \frac{1}{2}<t<8}$

(3)　${25}^x-3\cdot 5^x-10\ge 0$

$(5^2{)}^x-3\cdot 5^x-10\ge 0$
$(5^x{)}^2-3\cdot 5^x-10\ge 0$

ここで、$5^x=t$ とおくと、

$t^2-3t-10\ge 0$
$(t-5)(t+2)\ge 0$
$t\le -2$,　$5\le t$

おわりに