【数列】『等差数列』一般項と和の一般項２

等差数列の一般項

今回は、第 $n$ 項や特定の区間の和の情報が $2$ つ与えられている場合の等差数列の一般項を求める問題です。

初項や公差が直接与えられているわけではないので、一般的な等差数列の問題とは違います。

他にも一般項を求める問題は数多くありますが、これから少しずつパターンを紹介していきますので、一緒に数学的センスを磨いていきましょう。

等差数列（問題）

次の問いに答えなさい。

( $1$ )　第 $59$ 項が$70$ で、第 $66$ 項が $84$ である等差数列を求めよ。

( $2$ )　初項から第 $9$ 項までの和が $0$ であり、初項から第 $15$ 項までの和が $90$ である等差数列を求めよ。

答案の例

( $1$ )

この等差数列の初項を $a_1$ 、公差を$d$ とすると、第 $n$ 項は $a_n=a_1+(n-1)d$

　第 $59$ 項が $70$ なので、$a_1+58d=70$

　第 $66$ 項が $84$ なので、$a_1+65d=84$

この連立方程式を解いて、$a_1=-46$ 、$d=2$

したがって、一般項は

$a_n=-46+(n-1)\times 2$

　$=2n-48$

( $2$ )

この等差数列の初項を $a_1$ 、公差を$d$ とすると、第 $n$ 項は $a_n=a_1+(n-1)d$

これにより、初項から第 $9$ 項までの和は、 $S_9={\displaystyle \frac{1}{2}\times 9\times (a_1+a_9)}$

その和が $0$ なので、$a_9=a_1+(9-1)d$ であることを考慮し、

$S_9={\displaystyle \frac{1}{2}\times 9\times \{2a_1+(9-1)d\}＝0}$

　$a_1+4d=0\cdots \mathrm{①}$

同様に、初項から第 $15$ 項までの和は、 $S_{15}={\displaystyle \frac{1}{2}\times 15\times (a_1+a_{15})}$

その和が $90$ なので、$a_{15}=a_1+(15-1)d$ であることを考慮し、

$S_{15}={\displaystyle \frac{1}{2}\times 15\times \{2a_1+(15-1)d\}＝90}$

　$a_1+7d=6\cdots \mathrm{②}$

①と②の連立方程式を解き、$a_1=-8$ 、 $d=2$ となる。

よって、

　$a_n=-8+2(n-1)$

　$a_n=2n-10$

解説

( $1$ )

順にみていきましょう。

問題では、第 $59$ 項が $70$ であるという条件が与えられているので、これを式にすると

　$a_{59}=70$

となります。これは、$n=59$ としたときの値が $70$ であるということなので、

　$a_1+(59-1)d=70$

　$a_1+58d=70\cdots \mathrm{①}$

これにより、未知数が $2$ つになりましたね。

同じような条件として、第 $66$ 項が $84$ であると言われているので、同様に式を作り、

　$a_1+65d=84\cdots \mathrm{②}$

①と②を連立させて、$a_1=-46$ 、$d=2$

したがって、一般項は

　$a_n=-46+(n-1)\times 2$

　　$=2n-48$

となります。

( $2$ )

第$n$ 項までの和が $S_n={\displaystyle \frac{1}{2}n(\mathrm{初}\mathrm{項}+\mathrm{末}\mathrm{項})}$ なので、

第 $9$ 項までの和　$⟶$ 　$S_9={\displaystyle \frac{1}{2}\times 9\times (a_1+a_9)}$

第 $15$ 項までの和　$⟶$ 　$S_{15}={\displaystyle \frac{1}{2}\times 15\times (a_1+a_{15})}$

そして、$a_9$ と $a_{15}$ がそれぞれ $a_9=a_1+(9-1)d$ 、 $a_{15}=a_1+(15-1)d$ なので、

$S_9={\displaystyle \frac{1}{2}\times 9\times \{a_1+a_1+(9-1)d\}}$

　$={\displaystyle \frac{1}{2}\times 9\times (2a_1+8d)}$

　$=9(a_1+4d)$

$S_{15}={\displaystyle \frac{1}{2}\times 15\times \{a_1+a_1+(15-1)d\}}$

　$={\displaystyle \frac{1}{2}\times 15\times (2a_1+14d)}$

　$=15(a_1+7d)$

ここで、 $S_9=0$ 、$S_{15}=90$ であることを考慮すると、

　$9(a_1+4d)=0$

$⟶$ 　$a_1+4d=0$ $\cdots$ ①

　$15(a_1+7d)=90$

$⟶$ 　$a_1+7d=6$ $\cdots$ ②

①と②の連立方程式によって、$a_1=-8$ 、 $d=2$ となります。

あとはこれらを等差数列の一般項に代入し、

　$a_n=-8+(n-1)\times 2$

　$a_n=2n-10$

おわりに

今回は、第 $n$ 項や特定の区間の和の情報が $2$ つ与えられている場合の等差数列の一般項を求める問題でした。

等差数列の問題が大丈夫な方は、次のステップに進みましょう。