【数列】『等差数列』互いに素という考えについて詳しく解説

 

「互いに素」という考え方を用いた数列の問題

今回は、倍数に関する情報が与えられているときの問題を扱っていきます。

基本的に問題の条件をうまく式にしていくことは変わらないのですが、数学の問題でよく出てくる重要な「互いに素」という考えを使うので、一緒に見ていきましょう。

数列の問題

\(1000\) 以下の自然数で、\(3\) の倍数であり、かつ、 \(5\) で割ったとき余りが\(2\) となる等差数列について、次の問いに答えなさい。

（\(1\)）この自然数を小さい順に並べたときの初項、公差、項数を求めなさい。

（\(2\)）この等差数列の総和を求めなさい。

答案の例

（\(1\)）

\(3\) の倍数で、かつ\(5\) で割ったときの余りが \(2\) の自然数を \(x\) とする。

\(x\) は \(3\) の倍数なので、自然数 \(m\) を用いて、

　\(x=3m\)

また、\(5\) で割ったときの余りが \(2\) なので、自然数 \(n\) を用いて、\(x=5n+2\)

つまり、\(3m=5n+2\)

　\(3m+3=5n+5\)

　\(3(m+1)=5(n+1)\)

\(3\) と \(5\) は互いに素なので、\(m+1=5l\) （\(l\) は自然数）となる。

これにより、\(m=5l-1\) なので、\(x=3m=3(5l-1)=15l-3\)

よって、\(1 \leq 15l-3 \leq 1000\) により、\(l\) は自然数なので、\(1 \leq l \leq 66\)

つまり、初項は \(l=1\) の場合なので、\(12\)また、公差は \(15\) 、項数は \(66\)

（\(2\)）

（\(1\)）により、和は

\(\displaystyle \frac{1}{2} \times 66 \bigl\{ 2 \times 12+(66-1) \times 15 \bigr\} =32967\)

解説

（ \(1\) ）

では、具体的に問題の解説をしていく中で、この考え方に触れていきましょう。

まず最初に、ある数 \(x\) について、 \(3\) の倍数であるという情報が与えられていますから、自然数 \(m\) を使って、\(x=3m\) と表現できますね。

\(m\) に \(1\) や \(2\) などの自然数を代入すれば、 \(3\) や \(6\) などの数が出てきますから、 \(3\) の倍数になっていることがわかります。

次に、 \(5\) で割ったときの余りが \(2\) という条件です。

例えば \(17\) が\(5\) で割ったときの余りが \(2\) になると思うのですが、この \(17\) という数は \(5\) や \(2\) を使ってどのように表現されるでしょうか？

答えは、\(17=5 \times 3+2\) ですね。

\(17\) であれば商が \(3\) になりますが、 \(x\) の場合は商がわからないので、仮に自然数 \(n\) を商とすると、\(x=5n+2\)と表現されます。

この際、先程の \(3\) の倍数を表現するときに使った \(m\) は使わないようにしましょう。なぜなら、 \(3m\) と \(5n+2\) は同じ \(x\) についての式ですから、\(3m=5n+2\) となるはずですね。

もし、どちらも同じ文字だった場合、

　\(3m=5m+2\)

　\(-2m=2\)

　\(m=-1\)

となり、\(m\) に当てはまる数が \(1\) 通りだけになってしまうだけでなく、 \(m\) が自然数であることにも反することになってしまうからです。

さて、先にも触れた通り、\(3m\) と \(5n+2\) は同じ \(x\) についての式ですから、

　\(3m=5n+2\)

となります。ここで、\(2=5-3\)なので、

　\(3m=5n+5-3\)

　\(3m+3=5n+5\)

　\(3(m+1)=5(n+1)\)

と式変形できます。

なぜこのように無理やり式を変形したかというと、「\(3 \times 〇=5 \times △」の形を作りたかったからです。

このように式変形することが、互いに素という関係を使うときのキーポイントとなります。

簡単に説明するために、左辺の「\(3 \times 〇\)」に焦点を絞って一度見てみます。

\(3\) の倍数と\(5\) の倍数がイコールで結ばれているため、「\(3 \times 〇\)」は\(5\) の倍数になっていなければなりませんね。すなわち、 \(3\) か \(〇\) のどちらかは \(5\) で割れないとおかしいわけです。

しかし、\(3\) は \(5\) で割れませんから、〇が \(5\) で割れる数（\(5\) の倍数）になってくれないと式が成り立たないわけです。

よって、新たにある自然数を \(l\) とすると、

　\(〇=5l\)

となるわけです。ここでの自然数も、以前の \(3\) の倍数を定めるときの \(m\) や \(5\) で割ったときの商である \(n\) とは独立した値をとるので、新しく \(l\) と設定します。

お気づきかもしれませんが、「\(5 \times △\)」の方に焦点を絞り、

　\(△=3l\)

としても理屈が通っているので、最終結果は同じ答えになります。

以上のことを数学的に書くと、「\(3\) と \(5\) は互いに素なので、\(\cdots\)」のようになります。

さて、計算に戻りましょう。

\(3(m+1)=5(n+1)\)という式において、互いに素の関係を使うと、

　\(m+1=5l\)

　\(m=5l-1\)

となります。この\(m\) は、\(3\) の倍数であることと \(5\) で割った時に余りが \(2\) になるという \(2\) つの条件を考慮した式から見出された式なので、これら \(2\) つの条件を同時に満たしていることになります。

これを \(x=3m\) に代入すると、

　\(x=3(5l-1)\)

　\(x=15l-3\)

となりますね。先ほども言いましたが、この \(x\) は問題の条件を \(2\) つとも満たしているので、これが \(x\) の一般式になります。よって、初項は \(l=1\) のときの \(x=15-3=12\) 、公差は \(15\) となります。

また、 \(1\) 以上 \(1000\) 以下になるように \(l\) の値を調整していくと、\(1 \leq l \leq 66\)となるため、項数は \(66\) となります。

（ \(2\) ）

（ \(1\) ）で求めた初項、公差、項数を使って和の公式に当てはめると、

\(\displaystyle \frac{1}{2} \times 66 \bigl\{ 2 \times 12+(66-1) \times 15 \bigr\} \)

\(=32967\)

となります。（ \(2\) ）はおまけのような問題でしたね。

おわりに

今回は、倍数に関する情報が与えられているときの問題を扱いました。