【数列】『等差数列』等差中項

等差中項

今回は、第 \(n\) 項や特定の項間の和に関する情報ではなく、ある数列のある区間における和や積に関する条件が与えられているパターンの等差数列の問題です。

前回までと違い、公式に頼って式を作ることができない問題です。

実際に見ていきましょう。

等差中項（問題）

等差数列をなす \(3\) 数があって、その和は \(27\) 、積は \(693\) である。

この \(3\) 数を求めよ。

答案の例

解説

＜解き方Ⅰ＞

こちらの解き方は、公差に着目して \(3\) 数を定めていきます。数列のある数を \(x\) 、公差を\(d\) とするとき、\(3\) 数を

\(x-d\)、\(x\)、\(x+d\)

と定めることができますね。

この \(3\) 数で、問題の条件を使って式を立てていきます。すなわち、和が \(27\) 、\(693\) なので、

\((x-d)+x+(x+d)=27\) \(\cdots\) ①

\((x-d) \times x \times (x+d)=693\) \(\cdots\) ②

となります。①より、 \(d\) が削除され、\(3x=27\)　\(\longrightarrow\)　\(x=9\)

これを②に代入し、

\((9-d) \times 9 \times (9+d)=693\)

\((9-d)(9+d)=77\)

\(81-d^2=77\)

\(-d^2=-4\)

\(d=2\)、\(d=-2\)

となりますね。つまり \(3\) 数の並びは、

\(d=2\) の場合、\(7 ,9 ,11\)

\(d=-2\) の場合、\(11 ,9 ,7\)

のどちらかということになるので、求める \(3\) 数は、\(7\) 、\(9\)、\(11\) です。

＜解き方Ⅱ＞

こちらの解き方は、 \(3\) 数が等差数列であることをうまく使っていきます。

等差数列になっている \(3\) 数の具体例をいくつか並べてみると、

\(1 ,5 ,9\)

\(4 ,6 ,8\)

などがありますね。これらの数の並びには、真ん中の数の \(2\) 倍が最初と最後の数の和と等しくなっているという共通する特徴があります。実際、

\(5 \times 2=1+9\)

\(6 \times 2=4+8\)

という等式が成り立つことがわかります。

よって、求める \(3\) 数をそれぞれ \(x\) 、\(y\) 、\(z\) とすると、\(y \times 2=x+z\) という関係式が成り立ちます。

次に、問題の条件による式を作り、

\(x+y+z=27\)

\(xyz=693\)

となりますね。あとはこの \(3\) 式をうまく解いていけば答えとなります。

まず、 \(x+z=2y\) を利用し、\(x+y+z=27\) を変形し、

\(2y+y=27\) \(\longrightarrow\)　\(3y=27\) \(\longrightarrow\)　\(y=9\)

となります。\(y=9\) を\(x+z=2y\) と \(xyz=693\) に代入し、

\(x+z=18\) \(\cdots\) ①

\(xz=77\) \(\cdots\) ②

①より、\(z=18-x\) なので、これを②に代入し、

\(x(18-x)=77\)

\(-x^2+18x=77\)

\(-x^2+18x-77=0\)

\(x^2-18x+77=0\)

\((x-7)(x-11)=0\)

\(x=7\)、\(x=11\)

となります。\(x=7\) のときは \(z=18-x\) より \(z=11\) 、\(x=11\) のときは \(z=7\) なので、求める \(3\) 数は

\(7\) 、\(9\)、\(11\)

となります。

おわりに

今回は、第 \(n\) 項や特定の項間の和に関する情報ではなく、ある数列のある区間における和や積に関する条件が与えられているパターンの等差数列の問題でした。