【整数の性質】『余りに関する問題』除法の性質

除法の性質

今回は、除法の商と余りに関する情報を使って、特定の式の余りを求める問題です。

余りに関する問題は、様々な入試問題をはじめ、学校の定期テストでもよく出てくる問題のジャンルです。多くの問題のパターンがあるので、すべてを網羅することは難しいですが、このジャンルの問題に特有の公式や考え方はありません。一つひとつ情報を整理していけば難しいことはないので、一緒に問題を通して見ていきましょう。

除法の性質に関する問題

$a$ 、 $b$ は整数とする。 $a$ を $7$ で割ると $6$ 余り、$b$ を $7$ で割ると $2$ 余るという。このとき、次の数を $7$ で割ったときの余りを求めなさい。

（$1$）　 $2a+5b$

（$2$）　$ab-5$

答案の例

（$1$）$2a+5b$

$m$ 、$n$ を整数とすると、$a$ 、$b$ は

 $a=7m+6$ 、$b=7n+2$

のように表される。つまり、

$2a+5b=2(7m+6)+5(7n+2)$

$=14m+12+35n+10$
$=14m+35n+21+1$
$=7(2m+5n+3)+1$

よって、$2a+5b$ を $7$ で割ったときの余りは $1$ となる。

（$2$）$ab-5$

（$1$）より、 $a=7m+6$ 、$b=7n+2$ とすると、

$ab-5=(7m+6)(7n+2)-5$

$=49mn+14m+42n+12-5$
$=49mn+14m+42n+7$
$=7(7mn+2m+6n+1)$

よって、$ab-5$ を $7$ で割ったときの余りはない（ $7$ で割り切れる）。

解説

（$1$）$2a+5b$

まず、問題文に書かれた情報を整理しておきましょう。

$a$ は $7$ で割ると $6$ 余るので、 $m$ を商とすると、 $a=7m+6$のように表されますね。

これは、具体例を考えてみるとわかりやすいかもしれませんね。

$7$ で割ると $6$ 余る数には、例えば $20$ などがあります。これらの数は、次のように式を作れば、等式が成立します。

　$20=7\times 2+6$

このときの商は $2$ ですが、それは何を割るかによって決まるので、割る数が $a$ の場合、商が確定しませんので $m$ などのように文字で置くわけです。

次に、同じように $b$ を式にしてみます。

$b$ を $7$ で割ったときの商を $n$ とすると、 $2$ 余るので $b=7n+2$ となりますね。

これらの値を使い、$2a+5b$ を整理してみます。

$2a+5b=2(7m+6)+5(7n+2)$

$=14m+12+35n+10$
$=14m+35n+22$

ここで、 $7$ で割った時の余りを問われているので、次のいずれかの形に式を変形しなければなりません。

 $7\times (\mathrm{整}\mathrm{数})$
$7\times (\mathrm{整}\mathrm{数})+1$
$7\times (\mathrm{整}\mathrm{数})+2$
$7\times (\mathrm{整}\mathrm{数})+3$
$7\times (\mathrm{整}\mathrm{数})+4$
$7\times (\mathrm{整}\mathrm{数})+5$
$7\times (\mathrm{整}\mathrm{数})+6$

そこで、先程の式の $14m+35n+22$ に関して、 $7$ でくくれる部分はくくっていくと、

 $7(2m+5n)+22$　$\cdots$①

となりますね。

しかし、これは上のどのパターンにも当てはまっていません。それもそのはずです。この式は $7$ で割ると商が $2m+5n$ で余りが $22$ ということになります。

商に関しては、 $m$ と $n$ はそれぞれ $a$ と $b$ の商なので、整数の値を取ります。よって、$m$ や $n$ を整数倍したものや、それらの和は整数になりますので、ここについては問題ありません。

余りが $22$ という部分に問題があります。

$22$ はまだ $7$ で割ることができるので、その場合の余りは、

 $22=7\times 3+1$

により、 $1$ ということになります。

つまり、$22$ を①に代入して再度整理すると、

$7(2m+5n)+7\times 3+1$
$=7(2m+5n+3)+1$

となりますね。これにより、余りは $1$ になることがわかります。

（$2$）$ab-5$

基本的な考え方は（$1$）と同じです。

 $ab-5=(7m+6)(7n+2)-5$

$=49mn+14m+42n+12-5$
$=49mn+14m+42n+7$
$=7(7mn+2m+6n+1)$

$7mn+2m+6n+1$ は、先程の考え方と同じようにすれば、整数であることがわかります。つまり、この式は $7\times (\mathrm{整}\mathrm{数})$ ということになるため、余りは存在しません。つまり、余り $0$ ということになります。

数学において、どの分野でも大事なことは、文章を正しく式に表すことです。あとは単純な式変形になることが多いので、最初が肝心なのです。

おわりに