特定の倍数になる証明問題
今回は問題の条件をもとにして特定の倍数について考える問題です。
証明問題って難しいですよね…
流れを系統立てて書かなければならないことや証明の仕方の多様性など、解きにくい点は多々ありますが、大事なことは方針を立ててから書き始めるということです。やみくもに書いていてもできるようにはならないので、この記事を通して証明の考え方を学んでいきましょう。
倍数の証明問題
\(a\) は自然数とする。 \(a+1\) は \(5\) の倍数であり、 \(a+2\) は \(9\) の倍数であるとき、 \(a+11\) は \(45\) の倍数であることを証明しなさい。
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答案の例
\(a+1\) は \(5\) の倍数なので、 \(m\) を整数とすると、\(a+1=5m\) と表される。
\(a+2\) は \(9\) の倍数なので、 \(n\) を整数とすると、 \(a+2=9n\) と表される。
さらに、
\(a+11=a+1+10\)
\(=5m+10\)
\(=5(m+2)\)
\(a+11=a+2+9\)
\(=9n+9\)
\(=9(n+1)\)
なので、 \(m+2\) と \(n+1\) が整数であるため、\(a+11\) は \(5\) の倍数であり \(9\) の倍数でもある。
\(5\) と \(9\) は互いに素なので、 \(a+11\) は \(45\) の倍数である。
解説
証明をする際は、先にも書いた通り、まず方針を立てる必要があります。
しかし、証明に必要な情報が頭の中に点在していないと、そもそもそれらをつなぎ合わせて方針を立てることができませんね。そこで、証明の方針を立てるために、バラバラでもいいのでとりあえずたくさんの情報を集めておきましょう。
イメージとしては、ジグソーパズルを思い浮かべてもらうといいかもしれません。ピースがないと、そもそもパズルを組み立てることができないので、一つひとつのピースをまずはかき集める感じですね。
では実際にやっていきましょう。
~情報収集~
① 、\(5\) の倍数が出てきているので、 \(m\) などを整数とすれば \(5\) の倍数は \(5m\) と表されるはずです。
\(\longrightarrow\) よって、 \(a+1=5m\) となるはずですね。
② 、 \(9\) の倍数が出てきているので、 \(5\) の倍数と同様、 \(9m\) などと表されますが、今回は \(5\) の倍数とは一貫性がないので、違う文字で表して \(9n\) としておきましょう。
\(\longrightarrow\) よって、 \(a+2=9n\) となるはずですね。
③、\(a+11\) と、 \(a+1\) や \(a+2\) などの関連性を考えたとき、せっかく \(5m\) や \(9n\) と置いたので、これらを代入できるように、 \(a+11\) を変形して \(a+1\) などを無理やり作り出してみましょう。
\(\longrightarrow\) \(a+11=\) \(a+1\) \(+10\)
\(a+11=\) \(a+2\) \(+9\)
④、 \(a+1\) と \(a+2\) を代入してみると、
\(a+1+10=5m+10=5(m+2)\)
\(a+2+9=9n+9=9(n+1)\)
⑤、 \(a+11\) をいじっていると、④より、 \(5\) の倍数でもあり \(9\) の倍数でもあることがわかるので、最小公倍数である \(45\) の倍数でもあるはずですね。
ここまでで情報収集は終わりです。 \(45\) の倍数になるところまで大体の概要ができたので、ここから答案を書くための方針を考えていきましょう。
~方針~
①、\(a+1\) が \(5\) の倍数であることを式で表す
②、\(a+2\) が \(9\) の倍数であることを式で表す
③、\(a+11\) を \(a+1\) を使って変形して、 \(5\) の倍数であることを示す
④、\(a+11\) を \(a+2\) を使って変形して、 \(9\) の倍数であることを示す
⑤、\(5\) と\(9\) が互いに素であることを利用して、最小公倍数である \(45\) の倍数でもあることを示す
あとはこの手順でキレイに答案を完成させればおしまいです。
基本的に答えのみを答える問題でない限り、頭の中で方針を定めてから書き始めると書きやすいので、ぜひ参考にしてみてください。
おわりに
さいごまで記事を読んでいただきありがとうございました!
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