【整数の性質】『$n$ 進法』$n$ 進法の四則演算を解説

$n$ 進法の四則計算

今回は$n$ 進法の四則計算について解説していきます！

まずは、「$n$ 進法」がそもそもなにかを説明していこうと思いますが、

急に難しい説明をされても挫折してしまいそうなので、

我々の世界で一般的に使われている $10$ 進数について私なりの解釈をお伝えしようと思います！
※あくまでも私なりの解釈である点ご了承ください。

また、10 というくくりで数えるのは、

「両手の指が合わせて10本だから」

という説もあります。（本当のところは分かりません…）

我々の世界は10進数ですが、他にも時計は $12$ を基準にしますし、パソコンの世界では $2$ を基準にします。

$2$ 進数〜$n$ 進数のように、$n$ を基準にして数を表す方法を、$n$ 進法と言います。

$n$ 進法

$n$ 進法

$n$ 進法とは、位取りの基礎を $n$ として数を表す方法のことを言い、$n$ 進法で表された数を $n$ 進数と言います。

例えば、$10$ 進法で表された数 $12345$ について

※　${10}^0=1$ であることに注意

すべての数は $10$ 進法でこのように表すことができます。一般的に、$n$ を $2$ 以上の整数とするとき、$0$ 以上の整数は、すべて

と表すことができます。特に、$n=2$ のとき、$2$ 進数であり、$n=10$ のとき、$10$ 進数を表す。また、ある数が $n$ 進数で表されるとき、その数の右下に ${}_{(}n)$ と書きます。

n進数の四則演算

＜参考①＞

[ $2$ 進数 ]

+	0	1
0	0	1
1	1	10

×	0	1
0	0	0
1	0	1

例）$1+1=2$$2$ 進数の場合は、$2$ を基準にして繰り上げて計算していきます。

$2$ は $2$ 進数で $10$ と表されるので、次の位に $1$ を繰り上げます。

＜参考②＞

[ $5$ 進数 ]

+	1	2	3	4
1	2	3	4	10
2	3	4	10	11
3	4	10	11	12
4	10	11	12	13

×	1	2	3	4
1	1	2	3	4
2	2	4	11	13
3	3	11	14	22
4	4	13	22	31

$5$ 進数の場合は、$5$ を基準にして繰り上げて計算していきます。

例）
　$4+4=8$
$8$ は $5$ 進数で $13$ と表されるので、次の位に $1$ を繰り上げます。
　$4\times 4=16$
$16$ は $5$ 進数で $31$ と表されるので、次の位に $3$ を繰り上げます。

$n$ 進数の四則計算の例題

例題 ①　他の記数法で表す

$10$ 進数 $79$ を $2$ 進数で表しなさい。また、$5$ 進数で表しなさい。

（解説）

$10$ 進数 $79$ を $2$ 進数で表す。

$10$ 進数 $79$ を $5$ 進数で表す

例題 ②　n進数の四則演算

次の計算の結果を、[　]内の記数法で表せ。

(1)　${11011}_{(2)}+{11010}_{(2)}$ [\(2)\ 進法]

(2)　${3420}_{(5)}-{2434}_{(5)}$ [$5$ 進法]

(3)　${413}_{(5)}\times {32}_{(5)}$ [$5$ 進法]

（解説）

おわりに

今回は、$n$ 進数の計算方法についてでした。