【極限】数列の極限

数列の極限

今回は数列の極限について解説していきます。

数列以外にも、関数の極限について考える単元もありますので合わせてどうぞ！

数列の極限　

数列$\{a_n\}$ ($n=1$,　$2$,　$3$, $\cdots$ ) は無限数列とする。

①　収束　${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=\alpha }$ (極限値)　極限あり

②　発散

　${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=\mathrm{\infty }}$　極限あり

　${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=-\mathrm{\infty }}$　極限あり

　数列は振動する　極限なし

数列の極限の性質

数列 $\{a_n\}$,　$\{b_n\}$ が収束して、

${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=\alpha }$,　${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\beta }$ とする。

①　定数倍　${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}k{a}_n=k\alpha }$　ただし $k$ は定数

②　和　${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(a_n+b_n)=\alpha +\beta }$

　　差　${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(a_n-b_n)=\alpha -\beta }$

③　${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(k{a}_n+l{b}_n)}$　ただし $k$,　$l$ は定数

④　積　${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n{b}_n=\alpha \beta }$

⑤　商　${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{a_n}{b_n}=\frac{\alpha }{\beta }}}$　ただし $\beta \ne 0$

数列の大小関係と極限

①　すべての $n$ について $a_n\le b_n$ のとき

　${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=\alpha }$,　${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{b}_n=\beta }$ ならば $\alpha \le \beta$

②　すべての $n$ について $a_n\le b_n$ のとき

　 ${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=\mathrm{\infty }}$ ならば ${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{b}_n=\mathrm{\infty }}$

③　すべての $n$ について $a_n\le c_n\le b_n$ のとき

　 ${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{b}_n=\alpha }$ ならば ${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{c}_n=\alpha }$

※ ③は「はさみうちの原理」ともいい、直接求めにくい極限を求める場合に有効です。

数列 $\{n^k\}$ の極限

$k>0$ のとき　

　${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{n}^k=\mathrm{\infty }}$

　${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n^k}=0}$

極限の問題

おわりに