【極限】関数の極限

\(1\) つの有限な値に収束 \(\cdots\) 極限値がある　極限がある

\(\infty\) に発散 \(\cdots\) 極限値はない　極限がある
\(-\infty\) に発散 \(\cdots\) 極限値はない　極限がある
極限はない \(\cdots\) 極限がない

\(\displaystyle\lim_{x\to a} f(x)=\alpha\),　\(\displaystyle\lim_{x\to a} g(x)=\beta\) (\(\alpha\),　\(\beta\) が有限な値) のとき

①　\(\displaystyle\lim_{x\to a} \{kf(x)+lg(x)\} =k\alpha+l\beta\)　ただし \(k\),　\(l\) は定数

②　積　\(\displaystyle\lim_{x\to a} f(x)g(x)=\alpha\beta\)

③　商　\(\displaystyle\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\alpha}{\beta}\)　ただし \(\beta\neq 0\)

右側極限　\(\displaystyle\lim_{x\to a+0} f(x)\)　\(x>a\) で、\(x\longrightarrow\alpha\) のときの \(f(x)\) の極限

左側極限　\(\displaystyle\lim_{x\to a-0} f(x)\)　\(x<a\) で、\(x\longrightarrow\alpha\) のときの \(f(x)\) の極限

①　指数関数 \(y=a^x\) について

　\(a>1\) のとき　\(\displaystyle\lim_{x\to\infty} a^x=\infty\),　\(\displaystyle\lim_{x\to -\infty} a^x=0\)

　\(0<a<1\) のとき　\(\displaystyle\lim_{x\to\infty} a^x=0\),　\(\displaystyle\lim_{x\to -\infty} a^x=\infty\)

②　対数関数 \(y=\log_a x\) について

　\(a>1\) のとき　\(\displaystyle\lim_{x\to \infty} \log_a x=\infty\),　\(\displaystyle\lim_{x\to +0} \log_a x=-\infty\)

　\(0<a<1\) のとき　\(\displaystyle\lim_{x\to \infty} \log_a x=-\infty\),　\(\displaystyle\lim_{x\to +0} \log_a x=\infty\)

①　\(\displaystyle\lim_{x\to a} f(x)=\alpha\),　\(\displaystyle\lim_{x\to a} g(x)=\beta\) とする。

　(A)　\(x\) が \(a\) に近いとき、常に \(f(x)\leq g(x)\) ならば \(\alpha\leq\beta\)

　(B)　\(x\) が \(a\) に近いとき、常に \(f(x)\leq h(x)\leq g(x)\) かつ \(\alpha=\beta\) のとき

　　\(\displaystyle\lim_{x\to a} h(x)=\alpha\) (はさみうちの原理)

②　十分大きい \(x\) で常に \(f(x)\leq g(x)\) かつ \(\displaystyle\lim_{x\to\infty} f(x)=\infty\) ならば

　　\(\displaystyle\lim_{x\to\infty} g(x)=\infty\)

(1)　\(\displaystyle\lim_{x\to 2} \frac{x^3-3x-2}{x^2-3x+2}\)

(2)　\(\displaystyle\lim_{x\to 0} \frac{1}{x}\big(\frac{3}{x+3}-1\big)\)

(3)　\(\displaystyle\lim_{x\to 4}\frac{\sqrt{x+5}-3}{x-4}\)

（解説）

(1)　\(\displaystyle\lim_{x\to 2} \frac{x^3-3x-2}{x^2-3x+2}\)

まずは分母分子を因数分解します。

約分します。

　\(=\displaystyle\lim_{x\to 2}\frac{(x+1)^2}{x-1}=9\)

(2)　\(\displaystyle\lim_{x\to 0} \frac{1}{x}\big(\frac{3}{x+3}-1\big)\)

通分します。

　\(=\displaystyle\lim_{x\to 0}\big(\frac{1}{x}\cdot\frac{-x}{x+3}\big)\)

約分します。

　\(=\displaystyle\lim_{x\to 0}\big(-\frac{1}{x+3}\big)=-\frac{1}{3}\)

(3)　\(\displaystyle\lim_{x\to 4}\frac{\sqrt{x+5}-3}{x-4}\)

有理化します。

\(\displaystyle\lim_{x\to 4}\frac{(\sqrt{x+5}-3)(\sqrt{x+5}+3)}{(x-4)(\sqrt{x+5}+3)}\)

　\(=\displaystyle\lim_{x\to 4}\frac{(x+5)-9}{(x-4)(\sqrt{x+5}+3)}\)

約分します。

　\(=\displaystyle\lim_{x\to 4}\frac{1}{\sqrt{x+5}+3}=\frac{1}{6}\)