【極限】関数の極限

$1$ つの有限な値に収束 $\cdots$ 極限値がある　極限がある

$\mathrm{\infty }$ に発散 $\cdots$ 極限値はない　極限がある
$-\mathrm{\infty }$ に発散 $\cdots$ 極限値はない　極限がある
極限はない $\cdots$ 極限がない

${\displaystyle \underset{x\to a}{lim}f(x)=\alpha }$,　${\displaystyle \underset{x\to a}{lim}g(x)=\beta }$ ($\alpha$,　$\beta$ が有限な値) のとき

①　${\displaystyle \underset{x\to a}{lim}\{kf(x)+lg(x)\}=k\alpha +l\beta }$　ただし $k$,　$l$ は定数

②　積　${\displaystyle \underset{x\to a}{lim}f(x)g(x)=\alpha \beta }$

③　商　${\displaystyle \underset{x\to a}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\alpha }{\beta }}$　ただし $\beta \ne 0$

右側極限　${\displaystyle \underset{x\to a+0}{lim}f(x)}$　$x>a$ で、$x⟶\alpha$ のときの $f(x)$ の極限

左側極限　${\displaystyle \underset{x\to a-0}{lim}f(x)}$　$x<a$ で、$x⟶\alpha$ のときの $f(x)$ の極限

①　指数関数 $y=a^x$ について

　$a>1$ のとき　${\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}^x=\mathrm{\infty }}$,　${\displaystyle \underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}{a}^x=0}$

　$0<a<1$ のとき　${\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}^x=0}$,　${\displaystyle \underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}{a}^x=\mathrm{\infty }}$

②　対数関数 $y={\log }_{a}x$ について

　$a>1$ のとき　${\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{\log }_{a}x=\mathrm{\infty }}$,　${\displaystyle \underset{x\to +0}{lim}{\log }_{a}x=-\mathrm{\infty }}$

　$0<a<1$ のとき　${\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{\log }_{a}x=-\mathrm{\infty }}$,　${\displaystyle \underset{x\to +0}{lim}{\log }_{a}x=\mathrm{\infty }}$

①　${\displaystyle \underset{x\to a}{lim}f(x)=\alpha }$,　${\displaystyle \underset{x\to a}{lim}g(x)=\beta }$ とする。

　(A)　$x$ が $a$ に近いとき、常に $f(x)\le g(x)$ ならば $\alpha \le \beta$

　(B)　$x$ が $a$ に近いとき、常に $f(x)\le h(x)\le g(x)$ かつ $\alpha =\beta$ のとき

　　${\displaystyle \underset{x\to a}{lim}h(x)=\alpha }$ (はさみうちの原理)

②　十分大きい $x$ で常に $f(x)\le g(x)$ かつ ${\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}f(x)=\mathrm{\infty }}$ ならば

　　${\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}g(x)=\mathrm{\infty }}$

(1)　${\displaystyle \underset{x\to 2}{lim}\frac{x^3-3x-2}{x^2-3x+2}}$

(2)　${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{1}{x}(\frac{3}{x+3}-1)}$

(3)　${\displaystyle \underset{x\to 4}{lim}\frac{\sqrt{x+5}-3}{x-4}}$

（解説）

(1)　${\displaystyle \underset{x\to 2}{lim}\frac{x^3-3x-2}{x^2-3x+2}}$

まずは分母分子を因数分解します。

約分します。

　$={\displaystyle \underset{x\to 2}{lim}\frac{(x+1{)}^2}{x-1}=9}$

(2)　${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{1}{x}(\frac{3}{x+3}-1)}$

通分します。

　$={\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}(\frac{1}{x}\cdot \frac{-x}{x+3})}$

約分します。

　$={\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}(-\frac{1}{x+3})=-\frac{1}{3}}$

(3)　${\displaystyle \underset{x\to 4}{lim}\frac{\sqrt{x+5}-3}{x-4}}$

有理化します。

${\displaystyle \underset{x\to 4}{lim}\frac{(\sqrt{x+5}-3)(\sqrt{x+5}+3)}{(x-4)(\sqrt{x+5}+3)}}$

　$={\displaystyle \underset{x\to 4}{lim}\frac{(x+5)-9}{(x-4)(\sqrt{x+5}+3)}}$

約分します。

　$={\displaystyle \underset{x\to 4}{lim}\frac{1}{\sqrt{x+5}+3}=\frac{1}{6}}$