【図形と方程式】『点と直線の距離』公式の証明と例題

点と直線の距離の公式の証明

今回は、点と直線の距離の公式の証明と例題を解説します。

これまで、点と点の距離でしたら、三平方の定理を用いて求めることができましたね。しかし、今回は点と直線の距離を求めます。

点と直線の距離の公式

点と直線の距離の公式の照明

直線 \(l\)：\(ax+by+c=0\),　点\(A(x_0\),　\(y_0)\) の距離 \(d\) を図示すると、

ここで、点 \(A\) を原点に平行移動させる。それに伴って同様に直線 \(l\) も平行移動させる。

平行移動させたあとの直線 \(l\) を式にすると、

　\(a(x+x_0)+b(y+y_0)+c=0\)

青い直線の式は、

\(y=\displaystyle\frac{b}{a}x\)

\(a(x+x_0)+b(y+y_0)+c=0\) に \(y=\displaystyle\frac{b}{a}x\) を代入すると、

\(a(x+x_0)+b \left(\displaystyle\frac{b}{a}x+y_0\right)+c=0\)

\(ax+ax_0+\displaystyle\frac{b^2}{a}x+by_0+c=0\)

\(\displaystyle\frac{a^2+b^2}{a}x+ax_0+by_0+c=0\)

\((a^2+b^2)x+a^2x_0+aby_0+ac=0\)

\((a^2+b^2)x=-a^2x_0-aby_0-ac\)

\(x=\displaystyle\frac{-a(ax_0+by_0+c)}{a^2+b^2}\)

\(y=\displaystyle\frac{b}{a}\times \frac{-a(ax_0+by_0+c)}{a^2+b^2}\)

\(=\displaystyle\frac{-b(ax_0+by_0+c)}{a^2+b^2}\)

青い直線と \(a(x+x_0)+b(y+y_0)+c=0\) の交点は、

\(\left(\displaystyle\frac{-a(ax_0+by_0+c)}{a^2+b^2},\ \displaystyle\frac{-b(ax_0+by_0+c)}{a^2+b^2}\right)\)

\(d^2=\left(\displaystyle\frac{-a(ax_0+by_0+c)}{a^2+b^2}\right)^2+\left(\displaystyle\frac{-b(ax_0+by_0+c)}{a^2+b^2}\right)^2\)

\(d=\sqrt{\left(\displaystyle\frac{-a(ax_0+by_0+c)}{a^2+b^2}\right)^2+\left(\displaystyle\frac{-b(ax_0+by_0+c)}{a^2+b^2}\right)^2}\)

\(=\sqrt{\displaystyle\frac{a^2(ax_0+by_0+c)^2}{(a^2+b^2)^2}+\displaystyle\frac{b^2(ax_0+by_0+c)^2}{(a^2+b^2)^2}}\)

\(=\sqrt{\displaystyle\frac{(a^2+b^2)(ax_0+by_0+c)^2}{(a^2+b^2)^2}}\)

\(=\sqrt{\displaystyle\frac{(ax_0+by_0+c)^2}{a^2+b^2}}\)

\(=\displaystyle\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)

点と直線の距離の問題

点 \(A(2\),　\(3)\) と 直線 \(l\)：\(y=\displaystyle\frac{2}{3}x-2\) の距離を求めなさい。

解説

直線 \(l\)：\(y=\displaystyle\frac{2}{3}x-2\) より

\(3y=2x-6\)

\(-2x+3y+6=0\)

点 \(A\) と直線 \(l\) の距離を \(d\) とすると、

\(d=\displaystyle\frac{|-2\cdot 2+3\cdot 3+6|}{\sqrt{(-2)^2+3^2}}\)

\(=\displaystyle\frac{|-4+9+6|}{\sqrt{4+9}}\)

\(=\displaystyle\frac{|11|}{\sqrt{13}}\)

\(=\displaystyle\frac{11}{\sqrt{13}}\)

\(=\displaystyle\frac{11\sqrt{13}}{13}\)

おわりに

今回は、点と直線の距離の公式を証明しました。

点と直線の距離の公式を用いた問題には他にはこんな問題があります。