【確率分布と統計的推測】二項分布の平均、分散

確率変数 \(X\) が二項分布 \(B(n\),　\(p)\) に従うとき、

　平均：\(E(X)=np\)

　分散：\(V(X)=npq\)

　標準偏差：\(\sigma(X)=\sqrt{npq}\)　(\(q=1-p\))

（導入）

\(1\) 回の試行で事象 \(A\) の起こる確率を \(p\) とする。この試行を \(n\) 回繰り返すとき、第 \(k\) 回目の試行で \(A\) が起これば \(1\) 、起こらなければ \(0\) の値をとる確率変数を \(X_k\) とする。

このとき、\(k=1\),　\(2\),　\(\cdots\),　\(n\) に対して

確率変数 \(X_k\)	1	0
確率	p	q

よって　\(E(X_k)=1\cdot p+0\cdot q=p\)

また　\(E(X_k^2)=1^2\cdot p+0^2\cdot q=p\)

ゆえに　\(V(X_k)=E(X_k^2)-\{E(X_k)\}^2\)

　　\(=p-p^2=p(1-p)=pq\)

\(X=X_1+X_2+\cdots +X_n\) とおくと、\(X\) も確率変数で、この \(X\) は \(n\) 回のうち \(A\) が起こる回数を示すから、二項分布 \(B(n\),　\(p)\) に従う。

よって　\(E(X)=E(X_1)+E(X_2)+\cdots +E(X_n)\)

　\(=p+p+\cdots +p=np\)

\(E(X+Y)=E(X)+E(Y)\)

また、確率変数 \(X_1\),　\(X_2\),　\(\cdots\),　\(X_n\) は互いに独立であるから

　\(V(X)=V(X_1)+V(X_2)+\cdots +V(X_n)\)

　\(=pq+pq+\cdots +pq=npq\)

\(X\),　\(Y\) が独立 → \(V(X+Y)=V(X)+V(Y)\)

ゆえに　\(\sigma(X)=\sqrt{V(X)}=\sqrt{npq}\)

例）\(1\) 個のさいころを \(5\) 回投げるとき、\(2\) の目が出る回数を \(X\) とすると、\(X\) のとりうる値は \(0\),　\(1\), \(\cdots\), \(5\) で、

より、確率は

　\(P(X=r)={}_5C_r\big(\displaystyle\frac{1}{6}\big)^r\big(\frac{5}{6}\big)^{5-r}\) (\(r=0\),　\(1\),　\(\cdots\), \(5\))

よって、\(X\) は二項分布 \(B\big(5\),　\(\displaystyle\frac{1}{6}\big)\) に従う。

（指針①）

「\(1\) 個を取り出し、もとに戻す試行を \(5\) 回繰り返す」より

反復試行であることがわかるので、\(X\) は二項分布に従う。

よって使用する公式は、\(P(X=r)={}_nC_rp^rq^{n-r}\)　\((q=1-p)\)

したがって、\(n\),　\(p\),　\(q\) を調べる。

（指針②）

二項分布 \(B(n\),　\(p)\) → \(E(X)=np\),　\(V(X)=npq\),　\(\sigma(X)=\sqrt{npq}\)

まず、\(B(n\),　\(p)\) の \(n\) と \(p\) を確認

（解説）

　\(\displaystyle\frac{8}{10}=\frac{4}{5}\) \((=p)\)

よって、\(X=r\) となる確率 \(P(X=r)\) は、

\(P(X=r)={}_5C_r \big(\displaystyle\frac{4}{5}\big)^r\big(\frac{1}{5}\big)^{5-r}\) (\(r=0\),　\(1\),　\(2\), \(\cdots\),　\(5\))

したがって、\(X\) は二項分布 \(B\big(5,\)　\(\displaystyle\frac{4}{5}\big)\) に従うから

　\(E(X)=5\cdot \displaystyle\frac{4}{5}=5\)

　\(X(X)=5\cdot\displaystyle\frac{4}{5}\cdot\frac{1}{5}=\frac{4}{5}\)

　\(\sigma(X)=\sqrt{\displaystyle\frac{4}{5}}=\displaystyle\frac{2}{\sqrt{5}}\)