【確率分布と統計的な推測】二項分布の平均、分散

確率変数 $X$ が二項分布 $B(n$,　$p)$ に従うとき、

　平均：$E(X)=np$

　分散：$V(X)=npq$

　標準偏差：$\sigma (X)=\sqrt{npq}$　($q=1-p$)

（導入）

$1$ 回の試行で事象 $A$ の起こる確率を $p$ とする。この試行を $n$ 回繰り返すとき、第 $k$ 回目の試行で $A$ が起これば $1$ 、起こらなければ $0$ の値をとる確率変数を $X_k$ とする。

このとき、$k=1$,　$2$,　$\cdots$,　$n$ に対して

確率変数 $X_k$	1	0
確率	p	q

よって　$E(X_k)=1\cdot p+0\cdot q=p$

また　$E(X_k^2)=1^2\cdot p+0^2\cdot q=p$

ゆえに　$V(X_k)=E(X_k^2)-\{E(X_k){\}}^2$

　　$=p-p^2=p(1-p)=pq$

$X=X_1+X_2+\cdots +X_n$ とおくと、$X$ も確率変数で、この $X$ は $n$ 回のうち $A$ が起こる回数を示すから、二項分布 $B(n$,　$p)$ に従う。

よって　$E(X)=E(X_1)+E(X_2)+\cdots +E(X_n)$

　$=p+p+\cdots +p=np$

$E(X+Y)=E(X)+E(Y)$

また、確率変数 $X_1$,　$X_2$,　$\cdots$,　$X_n$ は互いに独立であるから

　$V(X)=V(X_1)+V(X_2)+\cdots +V(X_n)$

　$=pq+pq+\cdots +pq=npq$

$X$,　$Y$ が独立 → $V(X+Y)=V(X)+V(Y)$

ゆえに　$\sigma (X)=\sqrt{V(X)}=\sqrt{npq}$

例）$1$ 個のさいころを $5$ 回投げるとき、$2$ の目が出る回数を $X$ とすると、$X$ のとりうる値は $0$,　$1$, $\cdots$, $5$ で、

より、確率は

　$P(X=r)={}_5{C}_r({\displaystyle \frac{1}{6}{)}^r(\frac{5}{6}{)}^{5-r}}$ ($r=0$,　$1$,　$\cdots$, $5$)

よって、$X$ は二項分布 $B(5$,　${\displaystyle \frac{1}{6})}$ に従う。

（指針①）

「$1$ 個を取り出し、もとに戻す試行を $5$ 回繰り返す」より

反復試行であることがわかるので、$X$ は二項分布に従う。

よって使用する公式は、$P(X=r)={}_n{C}_r{p}^r{q}^{n-r}$　$(q=1-p)$

したがって、$n$,　$p$,　$q$ を調べる。

（指針②）

二項分布 $B(n$,　$p)$ → $E(X)=np$,　$V(X)=npq$,　$\sigma (X)=\sqrt{npq}$

まず、$B(n$,　$p)$ の $n$ と $p$ を確認

（解説）

　${\displaystyle \frac{8}{10}=\frac{4}{5}}$ $(=p)$

よって、$X=r$ となる確率 $P(X=r)$ は、

$P(X=r)={}_5{C}_r({\displaystyle \frac{4}{5}{)}^r(\frac{1}{5}{)}^{5-r}}$ ($r=0$,　$1$,　$2$, $\cdots$,　$5$)

したがって、$X$ は二項分布 $B(5,$　${\displaystyle \frac{4}{5})}$ に従うから

　$E(X)=5\cdot {\displaystyle \frac{4}{5}=5}$

　$X(X)=5\cdot {\displaystyle \frac{4}{5}\cdot \frac{1}{5}=\frac{4}{5}}$

　$\sigma (X)=\sqrt{{\displaystyle \frac{4}{5}}}={\displaystyle \frac{2}{\sqrt{5}}}$