【確率分布と統計的な推測】仮設検定

仮説検定とは

仮説検定（かせつけんてい）は、統計学において、ある主張や仮説がデータに基づいて正しいかどうかを検証する手法です。これは、科学実験や社会調査、品質管理など、多くの分野で広く使われています。

仮設検定は高校生で学習する単元「確率分布と統計的な推測」に含まれています。今回は一部高校の範囲を逸脱した内容になっていますが、仮設検定の具体的な活用方法が載せられていますので、わからない言葉はGoogleで検索しながら進めてみてください！

では早速ですが、仮説検定は基本的に以下のステップに従って行われます。

仮説検定のステップ

仮説検定の種類

例題：平均の検定（$t$ 検定）

ここでは、具体的な例を使って $t$ 検定を説明します。

例題

ある学校で新しい数学の教科書を使った場合、生徒の平均点が75点より高くなるかどうかを検定します。ここでは、10人の生徒のテスト結果が以下の通りだったとします。

$$70,72,68,75,78,74,80,71,69,77$$

ステップ1：仮説の設定

• 帰無仮説（$H0$）：新しい教科書は効果がない（生徒の平均点は75点以下）。
• 対立仮説（$H1$）：新しい教科書は効果がある（生徒の平均点は75点より高い）。

ステップ2：有意水準の設定

• 有意水準（$\alpha$）を0.05に設定します。

ステップ3：検定統計量の計算

まず、標本平均（$\overline{x}$）と標本標準偏差（$s$）を計算します。

$$\overline{x}=\frac{70+72+68+75+78+74+80+71+69+77}{10}=73.4$$

次に、標本標準偏差（$s$）を計算します。

$$\begin{array}{rcl}s& =& \sqrt{\frac{\sum _{i=1}^n(x_i–\overline{x}{)}^2}{n-1}}\\ & =& \sqrt{\frac{(70-73.4{)}^2+(72-73.4{)}^2+\dots +(77-73.4{)}^2}{9}}\\ & =& 4.02\end{array}$$

次に、$t$ 値を計算します。

$$\begin{array}{rcl}t& =& \frac{\overline{x}–{\mu }_0}{s/\sqrt{n}}\\ & =& \frac{73.4–75}{4.02/\sqrt{10}}\\ & =& -1.25\end{array}$$

ステップ4：棄却域の決定

自由度（$df$）は、$n-1=10-1=9$ です。有意水準0.05で片側検定を行う場合、$t$ 分布表を使って棄却域の値を求めます。この場合、$t$ 値が $-1.833$ 以下であれば帰無仮説を棄却します。

ステップ5：結論の導出

計算した $t$ 値は $-1.25$ で、棄却域に入っていません。
したがって、帰無仮説である「新しい教科書が効果がない」を棄却することができません。つまり、まだ新しい教科書は効果がない可能性もあるから効果があるとは言い切れない。となります。

まとめ

仮説検定は、データに基づいてある主張が正しいかどうかを検証するための重要な方法です。仮説を設定し、有意水準を決め、データを基に検定統計量を計算し、その結果から結論を導きます。仮説検定は、科学研究、品質管理、社会調査など、さまざまな分野で広く応用されています。具体例を通じて、その基本的な流れと考え方を理解することで、データに基づいた意思決定ができるようになります。