【積分】『面積』放物線と2直線で囲まれた面積

放物線と2直線で囲まれた面積

放物線と $2$ つの接線で囲まれた面積を求める問題を扱います。

この問題では、定積分の計算ができることはもちろんですが、その前にまずはグラフを描くスキルが必要になります。
丁寧にグラフを描くことができればあとは計算だけです！

放物線 $C$ ： $y = x^{2} - 4 x + 3$ 上の点 $P$ (0, 3),　 $Q$ (6, 15) における接線を、それぞれ $l$ ,　 $m$ とする。この２つの接線と放物線で囲まれた図形の面積Sを求めよ。

$y^{'} = 2 x - 4$

① $x = 0$ のとき $y^{'} = - 4$

点 $P (0$ ,　 $3)$ を通るので、 $y - 3 = - 4 (x - 0)$
$l$ ： $y = - 4 x + 3$ $\dots$ ①

② $x = 6$ のとき $y^{'} = 8$ より

点 $Q (6$ ,　 $15)$ を通るので、 $y - 15 = 8 (x - 6)$
$m$ ： $y = 8 x - 33$ $\dots$ ②

放物線 $C$ ,　直線 $l$ ,　 $m$ より

$S = \int_{0}^{3} {(x^{2} - 4 x + 3) - (- 4 x + 3)} d x + \int_{3}^{6} {(x^{2} - 4 x + 3) - (8 x - 33)} d x$

$= \int_{0}^{3} x^{2} d x + \int_{3}^{6} (x^{2} - 12 x + 36) d x$

$= \int_{0}^{3} x^{2} d x + \int_{3}^{6} (x - 6)^{2} d x$

$= {[\frac{1}{3} x^{3}]}_{0}^{3} + {[\frac{1}{3} (x - 6)^{3}]}_{3}^{6}$

$= \frac{1}{3} (3^{3} - 0^{3}) + {\frac{1}{3} (6 - 6)^{3} - \frac{1}{3} (3 - 6)^{3}}$

$= \frac{1}{3} \cdot 27 + \frac{1}{3} \cdot 0^{3} - \frac{1}{3} (- 3)^{3}$

$= 9 + 9 = 18$

$\int (x - a)^{2} d x = \frac{1}{3} (x - a)^{3} + C$ （ $C$ は積分定数

さいごまで読んでいただきありがとうございました！

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私自身、数学が得意になれたのはただ運が良かったんだと思っています。たまたま親が通塾させることに積極的だったり、友達が入るって理由でそろばんに入れたり、他の科目が壊滅的だったおかげで数学が(相対的に)得意だと勘違いできたり。

”たまたま”得意になれたこの恩を、今数学の学習に困っている人に還元できたらなと思っています。お金は取りません。できる限り(何百人から連絡が来たら難しいかもですが…)真摯に向き合おうと思っていますのでオアシスだと思ってご連絡ください。