三次曲線の囲まれた面積
今回は三次曲線に囲まれた面積を求める問題です。
面積を求めるためには、三次曲線のグラフを描く技能と面積を求めるための公式を知っている必要があります。
まずは公式をいくつか確認していきましょう！
区間 \(a\leq x\leq b\) で常に \(f(x)\geq 0\) とする。曲線 \(y=f(x)\) と \(x\) 軸、および \(2\) 直線 \(x=a\), \(x=b\) で囲まれた図形の面積 \(S\) は、
\(S=\displaystyle\int^b_a f(x) dx\)
区間 \(a\leq x\leq b\) で常に \(g(x)\geq 0\) とする。曲線 \(y=g(x)\) と \(x\) 軸、および \(2\) 直線 \(x=a\), \(x=b\) で囲まれた図形の面積 \(S\) は、
\(S=-\displaystyle\int^b_a g(x) dx\)
区間 \(a\leq x\leq b\) で常に \(f(x)\geq g(x)\) とする。\(2\) つの曲線 \(y=f(x)\), \(y=g(x)\), および \(2\) 直線 \(x=a\), \(x=b\) で囲まれた図形の面積 \(S\) は、
\(S=\displaystyle\int^b_a \{f(x)-g(x)\} dx\)
三次曲線に囲まれた面積（問題）
(1) 曲線 \(y=x^3-2x^2-x+2\) と \(x\) 軸で囲まれた図形の面積 S を求めよ。
(2) 曲線 \(y=x^3-4x\) と曲線 \(y=3x^2\) で囲まれた図形の面積 \(S\) を求めよ。
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解説
(1) 曲線 \(y=x^3-2x^2-x+2\) と \(x\) 軸で囲まれた図形の面積 S を求めよ。
\(x^3-2x^2-x+2=0\)
\(x=1\) のとき \(y=0\) より組み立て除法を用いると、
\((x-1)(x^2-x-2)=0\)
\((x-1)(x+1)(x-2)=0\)
\(x=-1\), \(1\), \(2\)
\(S=\displaystyle\int^1_{-1}(x^3-2x^2-x+2)dx+\int^2_1\{-(x^3-2x^2-x+2)\}dx\)
\(=\displaystyle\int^1_{-1}(x^3-2x^2-x+2)dx+\int^2_1(-x^3+2x^2+x-2)dx\)
\(=\left[\displaystyle\frac{1}{4}x^4-\frac{2}{3}x^3-\frac{1}{2}x^2+2x\right]^1_{-1}\)
\(+\left[-\displaystyle\frac{1}{4}x^4+\frac{2}{3}x^3+\frac{1}{2}x^2-2x\right]^2_1\)
\(=\displaystyle\frac{1}{4}\{(1^4-(-1)^4\}-\frac{2}{3}\{1^3-(-1)^3\}-\frac{1}{2}\{1^2-(-1)^2\}+2\{1-(-1)\}\)
\(-\displaystyle\frac{1}{4}(2^4-1^4)+\frac{2}{3}(2^3-1^3)+\frac{1}{2}(2^2-1^2)-2(2-1)\)
\(=-\displaystyle\frac{2}{3}\cdot 2+2\cdot 2-\displaystyle\frac{1}{4}\cdot 15+\frac{2}{3}\cdot 7+\frac{1}{2}\cdot 3-2\)
\(=-\displaystyle\frac{4}{3}+4-\displaystyle\frac{15}{4}+\frac{14}{3}+\frac{3}{2}-2\)
\(=\displaystyle\frac{10}{3}+2-\displaystyle\frac{9}{4}=\frac{37}{12}\)
(2) 曲線 \(y=x^3-4x\) と曲線 \(y=3x^2\) で囲まれた図形の面積 \(S\) を求めよ。
\(y=x^3-4x\)
\(=x(x^2-4)\)
\(=x(x+2)(x-2)\)
\(x=-2\), \(0\), \(2\)
\(x^3-4x=3x^2\)
\(x^3-3x^2-4x=0\)
\(x(x^2-3x-4)=0\)
\(x(x-4)(x+1)=0\)
\(x=-1\), \(0\), \(4\)
\(S=\displaystyle\int^0_{-1}(x^3-4x-3x^2)dx+\int^4_0\{3x^2-(x^3-4x)\}dx\)
\(=\displaystyle\int^0_{-1}(x^3-3x^2-4x)dx+\int^4_0(-x^3+3x^2+4x)dx\)
\(=\left[\displaystyle\frac{1}{4}x^4-x^3-2x^2\right]_{-1}^0+\left[-\displaystyle\frac{1}{4}x^4+x^3+2x^2\right]_0^{4}\)
\(=\displaystyle\frac{1}{4}\{0^4-(-1)^4\}-\{0^3-(-1)^3\}-2\{0^2-(-1)^2\}-\displaystyle\frac{1}{4}(4^4-0^4)+(4^3-0^3)+2(4^2-0^2)\)
\(=-\displaystyle\frac{1}{4}-1+2-\displaystyle\frac{1}{4}\cdot 256+64+32\)
\(=-\displaystyle\frac{1}{4}+1-64+96\)
\(=-\displaystyle\frac{1}{4}+33=\displaystyle\frac{131}{4}\)
おわりに
さいごまで読んでいただきありがとうございました！
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