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【積分】『面積』三次曲線に囲まれた面積

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三次曲線の囲まれた面積

今回は三次曲線に囲まれた面積を求める問題です。

面積を求めるためには、三次曲線のグラフを描く技能と面積を求めるための公式を知っている必要があります。

まずは公式をいくつか確認していきましょう!

区間 axb で常に f(x)0 とする。曲線 y=f(x)x 軸、および 2 直線 x=a, x=b で囲まれた図形の面積 S は、

S=abf(x)dx

区間 axb で常に g(x)0 とする。曲線 y=g(x)x 軸、および 2 直線 x=a, x=b で囲まれた図形の面積 S は、

S=abg(x)dx

区間 axb で常に f(x)g(x) とする。2 つの曲線 y=f(x), y=g(x), および 2 直線 x=a, x=b で囲まれた図形の面積 S は、

S=ab{f(x)g(x)}dx

三次曲線に囲まれた面積(問題)

(1) 曲線 y=x32x2x+2x 軸で囲まれた図形の面積 S を求めよ。

(2) 曲線 y=x34x と曲線 y=3x2 で囲まれた図形の面積 S を求めよ。

解説

(1) 曲線 y=x32x2x+2x 軸で囲まれた図形の面積 S を求めよ。

x32x2x+2=0

x=1 のとき y=0 より組み立て除法を用いると、

(x1)(x2x2)=0

(x1)(x+1)(x2)=0

x=1, 1, 2

 S=11(x32x2x+2)dx+12{(x32x2x+2)}dx

=11(x32x2x+2)dx+12(x3+2x2+x2)dx

=[14x423x312x2+2x]11
 +[14x4+23x3+12x22x]12

=14{(14(1)4}23{13(1)3}12{12(1)2}+2{1(1)}
 14(2414)+23(2313)+12(2212)2(21)

=232+221415+237+1232

=43+4154+143+322

=103+294=3712

(2) 曲線 y=x34x と曲線 y=3x2 で囲まれた図形の面積 S を求めよ。

y=x34x

=x(x24)

=x(x+2)(x2)

x=2, 0, 2

x34x=3x2

x33x24x=0

x(x23x4)=0

x(x4)(x+1)=0

x=1, 0, 4

S=10(x34x3x2)dx+04{3x2(x34x)}dx
=10(x33x24x)dx+04(x3+3x2+4x)dx
=[14x4x32x2]10+[14x4+x3+2x2]04
=14{04(1)4}{03(1)3}2{02(1)2}14(4404)+(4303)+2(4202)
=141+214256+64+32
=14+164+96
=14+33=1314

おわりに

さいごまで読んでいただきありがとうございました!

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私自身、数学が得意になれたのはただ運が良かったんだと思っています。たまたま親が通塾させることに積極的だったり、友達が入るって理由でそろばんに入れたり、他の科目が壊滅的だったおかげで数学が(相対的に)得意だと勘違いできたり。

”たまたま”得意になれたこの恩を、今数学の学習に困っている人に還元できたらなと思っています。お金は取りません。できる限り(何百人から連絡が来たら難しいかもですが…)真摯に向き合おうと思っていますのでオアシスだと思ってご連絡ください。

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