二曲線間の面積
区間 \(a\leq x\leq b\) で常に \(f(x)\geq g(x)\) とする。\(2\) つの曲線 \(y=f(x)\), \(y=g(x)\), および \(2\) 直線 \(x=a\), \(x=b\) で囲まれた図形の面積 \(S\) は、
\(S=\displaystyle\int^b_a \{f(x)-g(x)\} dx\)
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二曲線間の面積（問題）
次の曲線や直線で囲まれた図形の面積Sを求めよ・
(1) \(y=x^2-x-1\), \(y=x+2\)
(2) \(y=x^2-2x\), \(y=-x^2+x+2\)
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解説
(1) \(y=x^2-x-1\), \(y=x+2\)
曲線と直線の交点を求める
\(x^2-x-1=x+2\) より
\(x^2-2x-3=0\)
\((x+1)(x-3)=0\)
\(x=-1\), \(3\)
よって、
\(\displaystyle\int^3_{-1} \{(x+2)-(x^2-x-1)\} dx\)
\(=-\displaystyle\int^3_{-1} (x^2-2x-3) dx\)
\(=-\displaystyle\int^3_{-1} (x+1)(x-3) dx\)
1/6 公式
\(\displaystyle\int^{\beta}_{\alpha} (x-\alpha)(x-\beta) dx=-\displaystyle\frac{1}{6}(\beta-\alpha)^3\)
1/6公式より
\(=-\displaystyle\frac{1}{6}(-1-3)^3\)
\(=-\displaystyle\frac{1}{6}(-64)=\frac{32}{3}\)
(2) \(y=x^2-2x\), \(y=-x^2+x+2\)
\(x^2-2x=-x^2+x+2\)
\(2x^2-3x-2=0\)
\((2x+1)(x-2)=0\)
\(x=-\displaystyle\frac{1}{2}\), \(2\)
よって、
\(\displaystyle\int^2_{-\frac{1}{2}} \{(-x^2+x+2)-(x^2-2x)\} dx\)
\(-\displaystyle\int^2_{-\frac{1}{2}} (2x^2-3x-2)\} dx\)
\(-2\displaystyle\int^2_{-\frac{1}{2}} (x+\frac{1}{2})(x-2) dx\)
1/6 公式
\(\displaystyle\int^{\beta}_{\alpha} (x-\alpha)(x-\beta) dx=-\displaystyle\frac{1}{6}(\beta-\alpha)^3\)
1/6公式より
\(=-2\displaystyle\frac{1}{6}(-\frac{1}{2}-2)^3\)
\(=-2\displaystyle\frac{1}{6}(-\frac{5}{2})^3\)
\(=-2\displaystyle\frac{1}{6}(-\frac{125}{8})\)
\(=-2\displaystyle\frac{1}{6}(-\frac{125}{8})=\displaystyle\frac{125}{24}\)
おわりに
積分法を用いた面積の求め方は、とにかくグラフを丁寧に描きましょう。グラフが描ければ（上のグラフ）ー（下のグラフ）を積分するだけとなります。
さいごまで読んでいただきありがとうございました！
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