【積分】『面積』二曲線間の面積

二曲線間の面積

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二曲線間の面積（問題）

次の曲線や直線で囲まれた図形の面積Sを求めよ・

(1)　$y=x^2-x-1$,　$y=x+2$

(2)　$y=x^2-2x$,　$y=-x^2+x+2$

解説

(1)　$y=x^2-x-1$,　$y=x+2$

曲線と直線の交点を求める

$x^2-x-1=x+2$ より

$x^2-2x-3=0$

$(x+1)(x-3)=0$

$x=-1$,　$3$

よって、

　${\displaystyle {\int }_{-1}^3\{(x+2)-(x^2-x-1)\}dx}$

$=-{\displaystyle {\int }_{-1}^3(x^2-2x-3)dx}$

$=-{\displaystyle {\int }_{-1}^3(x+1)(x-3)dx}$

1/6公式より

$=-{\displaystyle \frac{1}{6}(-1-3{)}^3}$

$=-{\displaystyle \frac{1}{6}(-64)=\frac{32}{3}}$

(2)　$y=x^2-2x$,　$y=-x^2+x+2$

$x^2-2x=-x^2+x+2$

$2x^2-3x-2=0$

$(2x+1)(x-2)=0$

$x=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$,　$2$

よって、

${\displaystyle {\int }_{-\frac{1}{2}}^2\{(-x^2+x+2)-(x^2-2x)\}dx}$

　$-{\displaystyle {\int }_{-\frac{1}{2}}^2(2x^2-3x-2)\}dx}$

　$-2{\displaystyle {\int }_{-\frac{1}{2}}^2(x+\frac{1}{2})(x-2)dx}$

1/6公式より

$=-2{\displaystyle \frac{1}{6}(-\frac{1}{2}-2{)}^3}$

$=-2{\displaystyle \frac{1}{6}(-\frac{5}{2}{)}^3}$

$=-2{\displaystyle \frac{1}{6}(-\frac{125}{8})}$

$=-2{\displaystyle \frac{1}{6}(-\frac{125}{8})={\displaystyle \frac{125}{24}}}$

おわりに

積分法を用いた面積の求め方は、とにかくグラフを丁寧に描きましょう。グラフが描ければ（上のグラフ）ー（下のグラフ）を積分するだけとなります。